Ограниченные значения скорости и ускорения входного сигнала.

Пусть на входе системы известны максимальное по модулю значение первой производной (скорости) и максимальное по модулю значение второй производной (ускорения) входного сигнала При этом не накладывается никаких других ограничений на вид этого сигнала. Это может быть детерминированный или случайный сигнал с любой спектральной плотностью. Априорная

информация об этом сигнале сведена к минимуму, и определяется величинами и которые в большинстве случаев могут быть легко оценены.

Для заданных значений и подберем эквивалентный режим гармонического воздействия. Рассмотрим такой эквивалентный режим

который характеризуется максимальным значением первой производной и максимальным значением второй производной

Рис. 5.3. Запретные области по условиям точности для астатических систем.

Для этого режима можно определить частоту и амплитуду

при произвольном значении начальной фазы . В соответствии с формулами (5.9) и (5.10) на рис. 5.3, а построена контрольная точка

Если по-прежнему то частоту можно заменить на псевдочастоту По вычисленным значениям при заданной величине максимальной ошибки Стах можно построить для л. а. х.

контрольную точку с координатами

Построение контрольной точки показано на рис. 5.3, б.

Рассмотрим теперь режим эквивалентного гармонического задающего воздействия, в котором амплитуда первой производной по-прежнему равна максимальному значению а амплитуда второй производной меньше максимального значения Тогда при уменьшении амплитуды второй производной в соответствии с (5.9) частота контрольной точки будет пропорционально уменьшаться, а амплитуда в соответствии с (5.10) будет пропорционально возрастать. При этом контрольная точка на рис. 5.3, а будет перемещаться в область более низких частот (влево) по прямой, имеющей отрицательный наклон (единичный наклон). Если амплитуду второй производной устремить к нулю, то частота Это соответствует режиму работы системы управления с постоянной скоростью Заданное значение максимальной ошибки воспроизведения задающего воздействия связано в этом случае с зависимостью

где — предельное значение общего коэффициента усиления (добротности по скорости) системы с астатизмом первого порядка, ниже которого в рассчитываемой системе нельзя иметь реальный общий коэффициент усиления разомкнутой системы при заданных значениях и

Рассмотрим теперь эквивалентный гармонический входной режим с амплитудой второй производной входного воздействия, равной максимальному значению и амплитудой первой производной, меньшей заданного значения Аналогичными рассуждениями можно показать, что контрольная точка (рис. 5.3, а) будет

перемешаться в область более высоких частот, двигаясь по прямой, имеющей отрицательный наклон 40 дБ/дек (двойной наклон). Квадрат частоты точки пересечения этой прямой с осью абсцисс равен предельному коэффициенту усиления разомкнутой системы (добротности по ускорению)

Ниже этого предельного значения не может быть выбран общий коэффициент усиления разомкнутой системы с астатизмом второго порядка. Область, расположенная ниже двух пересекающихся прямых с отрицательными наклонами представляет собой запретную область для л. а. х. проектируемой системы. При работе с ограниченными значениями первой и второй производных от входного воздействия, не превышающими и максимальная ошибка системы не будет превышать заданного значения ептах. При этом должно выполняться условие того, что вся запретная область расположена левее частоты

Если считать, что соотношения между максимальными и среднеквадратичными значениями одинаковы или примерно одинаковы для процессов то координаты контрольной точки в непрерывном случае (рис. 5.3, a) могут быть найдены для центрированных случайных процессов из выражений

Здесь - дисперсия первой производной входного сигнала (скорости), — дисперсия второй производной входного сигнала (ускорения), — допустимая дисперсия ошибки воспроизведения полезного входного сигнала. Заметим, что соотношения между максимальными и среднеквадратичными значениями оказываются строго одинаковыми для нормального закона распределения.

Как и ранее, для дисперсии второй производной входного сигнала, меньшей чем заданное значение контрольная тонка (рис. 5.3, a) будет смещаться влево по

прямой с отрицательным наклоном Если то предельное значение коэффициента усиления системы с астатизмом первого порядка (среднеквадратичной добротности по скорости), аналогично формуле (5.13), будет

При уменьшении дисперсии первой производной входного сигнала, как и ранее, контрольная точка будет двигаться вправо по прямой с отрицательным наклоном

При стремлении дисперсии первой производной к нулю, аналогично формуле (5.14), будем иметь предельное значение коэффициента усиления системы с астатизмом второго порядка (среднеквадратичную добротность по ускорению)

Прямые линии с отрицательными наклонами (рис. 5.3, а) формируют запретную область для л. а. х. разомкнутой системы. Если л. а. х. будет проходить выше запретной области, то в замкнутой системе дисперсия ошибки будет не больше заданного значения Аналогичным образом может быть определена запретная область для дискретного случая (рис. 5.3, б) при условии, что эта область расположена левее частоты

Для того чтобы в реальной системе управления действительная точность воспроизведения задающего воздействия соответствовала бы принятой для построения запретной области, важным условием оказывается наличие в замкнутой системе достаточного запаса устойчивости. Вопрос обеспечения необходимого запаса устойчивости будет рассмотрен ниже. Здесь можно лишь заметить, что выполнение обычных критериев запаса устойчивости автоматического управления [8] оказывается достаточным для того, чтобы построенная запретная область для л. а. х. (рис. 5.3) гарантировала получение желаемой точности.

Заметим попутно, что, как следует из вида запретной области на рис. 5.3, задание ограничений только на первую и вторую производные входного сигнала при

отсутствии ограничений на сам сигнал приводит к необходимости использовать только астатические системы автоматического управления.