Использование фильтров Винера.

Другая постановка задачи при расчете по критерию минимума дисперсии ошибки заключается в том, что ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры и значений параметров системы автоматического управления, при которых обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала (задающего воздействия) и помехи Эта задача будет решена, если найти, например, частотную передаточную функцию замкнутой системы для непрерывной системы или для дискретной системы (рис. 4.1). Передаточной функции может быть поставлена в соответствие передаточная функция а передаточной функции — функция Задача относится к категории вариационных задач в открытой области, т. е. без ограничений на фазовые координаты системы и управляющие воздействия.

Для решения этой задачи требуется знание статистических характеристик полезного входного сигнала (задающего воздействия) и помехи на входе системы (или помехи, пересчитанной на вход системы). При этом предполагается, что на систему управления заранее не налагается никаких ограничений в смысле обязательного использования реальных элементов (чувствительных элементов, усилителей, исполнительных элементов и др.) с заданными Характеристиками.

Запишем критерий оптимальности в задаче Н. Винера. При поступлении на вход системы аддитивной смеси полезного сигнала и помехи (рис. 4.1)

представляющих собой стационарные случайные функции с нулевыми математическими ожиданиями и известными

корреляционными функциями, требуется найти частотную передаточную функцию замкнутой системы или ей соответствующую физически реализуемую весовую функцию осуществляющую требуемое линейное преобразование входного сигнала

где — заданный линейный оператор, и обеспечивающую минимум дисперсии ошибки (4.4):

Если то это будет задача оптимального сглаживания, т. е. выделения сигнала из аддитивной смеси полезного сигнала и помехи. При равенстве помехи нулю решение задачи сглаживания имеет тривиальный вид:

Рис. 4.1. Оптимальный фильтр Винера

В задачах оптимального статистического упреждения где — время упреждения. Решение получается нетривиальным даже в случае отсутствия помехи. В задачах дифференцирования сигнала при наличии помех заданный линейный оператор имеет вид Но где — порядок отыскиваемой производной.

После нахождения оптимальной передаточной функции или конструктор должен попытаться реализовать ее посредством использования тех элементов, которыми он располагает и из которых должна быть построена система управления. Так как в большинстве практических случаев точное воспроизведение оптимальной передаточной функции оказывается невозможным, то приходится использовать квазиоптимальную, или субоптимальную, систему, более или менее близко совпадающую по своим параметрам с оптимальной.

Задача винеровской фильтрации может быть решена и для многомерного случая, когда рассматриваются матрицы-столбцы величин и Схему, изображенную на

рис. 4.1, следует тогда рассматривать как многомерную. В качестве критерия оптимальности здесь принимается минимум математического ожидания где Г — любая положительно-определенная матрица, матрица-столбец ошибок. В этом случае минимизируется и каждая составляющая