§ 3.5. Прохождение случайного сигнала через линейную систему

Рассмотрим линейную систему (рис. 3.10, а) с дискретной передатрчной функцией и приведенной весовой функцией которые связаны между собой формулой -преобразования

Пусть на входе действует центрированный случайный решетчатый сигнал с корреляционной функцией

Рис. 3.10. Линейные системы со случайными воздействиями.

Выходной сигнал на основании формулы (2.119) может быть представлен для двух моментов времени в виде

После перемножения левых и правых частей формул (3.84) получим

Далее, переходя к математическому ожиданию, можно найти корреляционную функцию решетчатого сигнала на выходе линейной системы

Для определения дисперсии выходного сигнала необходимо в последнем выражении положить Тогда

Если на входе действует стационарный процесс, то где Тогда

Если рассматриваемая система устойчива, то стремятся к некоторым пределам, которые определяют стационарный процесс на выходе. Они могут быть найдены, если положить и при . Тогда

Если входной сигнал представляет собой дискретный белый шум с корреляционной функцией то формула (3.87) может быть представлена в следующем виде:

Установившееся значение дисперсии выходного сигнала в этом случае

В соответствии с формулами (2.112) и (2.113) сумма квадратов весовой функции, входящая в (3.93), может быть найдена интегрированием квадрата модуля

передаточной функции или

Здесь введена эквивалентная полоса пропускания рассматриваемой линейной системы Безразмерная полоса пропускания . В результате установившееся значение дисперсии выходной величины может быть выражено через эквивалентную полосу пропускания в виде

Пример 3.1. Рассмотрим разомкнутый канал с ЦВМ, содержащий непрерывное апериодическое звено первого порядка с передаточной функцией При дискретная передаточная функция в соответствии с (2.136) будет

Передаточная функция по псевдочастоте

где эквивалентная постоянная времени Приведенная весовая функция канала (реакция системы на единственную единичную дискрету на входе) будет здесь

где — общий коэффициент передачи канала. В соответствии с формулой (3.90) дисперсия выходной

величины при действии на входе шума квантования (3.54) будет

Установившееся значение дисперсии при

Установившееся значение дисперсии можно найти также по эквивалентной полосе пропускания (3.93):

откуда на основании (3.96) можно получить

Рассмотрим теперь вопрос нахождения спектральной плотности или и установившейся дисперсии выходной величины линейной системы по спектральной плотности входной величины. В качестве исходной возьмем формулу (3.90):

Спектральная плотность выходной величины

Нижние пределы суммирования по и в (3.97) могут быть взяты равными так как при весовая

функция Произведя подстановку имеем из (3.97)

Переход к спектральным плотностям по формуле (3.41) дает

Последнее выражение можно также записать для псевдочастот:

Интегрирование (3.100) в бесконечных пределах дает установившееся значение дисперсии выходной величины:

Отметим, что закон распределения для случайной величины может, вообще говоря, меняться при прохождении ее через линейную систему. Однако в случае, если на входе линейной системы имеется нормальное распределение случайной величины то на выходе для случайной величины также будет иметь место нормальное распределение.

При вычислении интеграла (3.101) обычно приходится иметь дело с подынтегральным выражением вида

где представляют собой некоторые полиномы от комплексной переменной Наивысшую степень знаменателя обозначим Наивысшая степень числителя в реальной системе может быть не выше Для удобства интегрирования написанное выше выражение обычно представляют в виде

где

Полином содержит только четные степени Полином для устойчивой системы может иметь корни только в верхней полуплоскости. Область устойчивости оказалась в верхней полуплоскости вследствие того, что была использована подстановка множитель обозначает поворот комплексного числа на угол Таким образом, вычисление дисперсии (3.101) можно свести к нахождению интеграла

В общем случае при любом для устойчивой системы интеграл может быть представлен в виде

где

совпадает с точностью до знака со старшим определителем Гурвица, а числитель равен

Интегралы такого вида вычислены до и сведены в таблицы (см. Приложение).

Заметим, что знаменатель правых частей приведенных в Приложении формул представляет собой — определитель Гурвица. На границе колебательной устойчивости этот определитель обращается в нуль, а дисперсия выходной величины будет стремиться к бесконечности.

Все рассмотренные формулы используемые для нахождения корреляционных функций, спектральных плотностей

и дисперсий выходной величины линейной системы, предполагают рассмотрение этой величины только в дискретные моменты времени Если необходимо рассматривать непрерывную выходную величину и в промежутках между этими моментами времени, то следует воспользоваться приведенной весовой функцией и передаточной функцией линейной системы (2.124):

и внести соответствующие изменения во все рассмотренные выше зависимости. Так, например, формула (3.90) должна быть записана для выходного решетчатого сигнала в виде

Установившееся значение дисперсии решетчатой выходной величины в соответствии, например, с формулой (3.101) будет

Усреднение последнего выражения на интервале дает дисперсию непрерывной выходной величины дискретной линейной системы

Однако в большинстве случаев в расчетах можно ограничиваться рассмотрением дисперсии непрерывной величины, определяемой для дискретных моментов времени