Типовые передаточные функции астатических систем.

Для многих практически важных случаев рассмотренная методика обеспечения требуемой точности воспроизведения задающего воздействия может быть в известной мере обоснована. Это, в частности, относится к системам с типовыми передаточными функциями, которые будут рассмотрены более подробно в § 5.3 и § 5.4. Для упрощения изложения рассмотрение начнем с непрерывных систем.

Пусть спектральная плотность скорости изменения задающего воздействия имеет вид, изображенный на рис. 3.9, в. Дисперсия скорости

Дисперсия второй производной

В соответствии с этими значениями можно построить запретную область вида, изображенного на рис. 5.3, а. Для этой запретной области частота контрольной точки из (5.15)

Заметим, что для периодического режима Тогда Предельный коэффициент усиления системы с астатизмом первого порядка определяется формулой (5.17), а системы с астатизмом второго порядка — формулой (5.18). В эти формулы входит допустимая дисперсия ошибки которая должна быть задана.

Выберем систему с астатизмом первого порядка простейшего вида так, чтобы передаточная функция разомкнутой системы была бы где определяется формулой (5.17). Подсчитаем действительную дисперсию ошибки в рассматриваемой системе и проверим условие того, чтобы она была не больше заданного значения.

Спектральная плотность ошибки

Дисперсия ошибки в рассматриваемой системе

Так как то из последнего равенства вытекает условие

Таким образом, при любых значениях и дисперсия ошибки в выбранной системе управления не превышает заданного значения. Только в предельном случае, когда и что соответствует случаю гармонического входного сигнала, получается условие

Рис. 5.4. Замена прозвольной спектральной плотности суммой равномерных спектров.

Аналогичный пример может быть рассмотрен и для дискретного случая при условии выполнения неравенств и где Т — период дискретности.

Покажем теперь, что полученный результат можно распространить на спектральную плотность любого вида. На рис. 5.4 изображена спектральная плотность произвольного вида, приближенно представляемая в виде совокупности равномерных спектров высотой и протяженностью где Персия скорости для совокупности равномерных спектров

Дисперсия ускорения

Действительная дисперсия ошибки системы при действии совокупности равномерных спектров в соответствии с (5.23) будет

Отсюда следует:

При бесконечном уменьшении высоты равномерных спектров и при одновременном бесконечном увеличении их числа можно аппроксимировать исходную спектральную плотность с любой степенью точности. Следовательно, доказано условие того, что действительная дисперсия ошибки будет справедливо при любом виде спектральной плотности но при ограниченных значениях

Усложним теперь передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии и представим ее в виде

Выполним условие достаточно большого запаса устойчивости в замкнутой системе. Примем, например, что корни характеристического уравнения замкнутой системы

являются вещественными отрицательными. Это будет при выполнении неравенства Выберем общий коэффициент усиления разомкнутой системы в соответствии с формулой (5.17). Л. а. х. разомкнутой системы изображена на рис. 5.5, а. Найдем действительную дисперсию

сию ошибки в системе с передаточной функцией (5.29):

Здесь — постоянные времени, определяемые корнями характеристического уравнения замкнутой системы:

Рис. 5.5. Расположение низкочастотной части л. а. х. относительно запретной области по точности.

Коэффициенты разложения на простые дроби

Из (5.32) следует, что если принять то минимальное значение Поэтому Должно выполняться условие а коэффициент может быть как отрицательным, так и положительным. Проинтегрировав (5.31), получим

Если то, аналогично проделанному выше, можем записать

Если , то из условия следует, что Поэтому переход от арктангенсов к аргументу в (5.34) будет приводить к увеличению суммы, находящейся в квадратных скобках. Следовательно, и в этом случае

Эти рассуждения можно продолжить и показать, что для передаточных функций разомкнутой системы более сложного вида

по-прежнему будет выполняться условие при любых спектральных плотностях скорости изменения входного сигнала, если корни характеристического уравнения замкнутой системы оказываются вещественными и отрицательными.

Рассмотрим теперь систему с астатизмом первого порядка при использовании передаточной функции разомкнутой системы вида

Выберем постоянную времени так, чтобы излом асимптотической л. а. х. (рис. 5.5, б) совпадал с изломом запретной области, т. е. где определяется формулой (5.15).

Для того чтобы учесть отклонение асимптотической л. а. х. от действительной в точке общий коэффициент усиления следует увеличить на 3 дБ, положив

Примем опять условие, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы

были вещественными и отрицательными. Положим, что и найдем действительную дисперсию ошибки

Рассмотрим первый интеграл

Коэффициенты разложения

Выше было показано, что здесь выполняется условие (5.34):

Второй интеграл в формуле (5.39)

Коэффициенты разложения

Проинтегрировав формулу (5.42), получим

Разложим в степенной ряд арктангенсы, входящие в выражение (5.44):

Остаточные члены рядов удовлетворяют неравенствам

Кроме того, имеют место неравенства Поэтому суммарный остаточный член

Из последнего условия следует, что

Суммарная дисперсия ошибки

Аналогичным образом можно показать, что при использовании передаточной функции разомкнутой системы более сложного вида:

будет выполняться условие если л. а. х. системы проходит так, как это показано на рис. 5.5, б для случая вещественных и отрицательных корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Следует заметить, что совпадение изломов асимптотической л. а. х. и запретной области (рис. 5.5, б) не является обязательным условием. Можно сдвинуть излом асимптотической л. а. х. (изменить постоянную времени влево или вправо. Однако при этом действительная л. а. х. (с учетом отклонений от асимптотической л. а. х.)

не должна заходить в запретную область. Доказательство условия и здесь не представляет труда, и оно может быть выполнено аналогичным образом. При этом не будет выполняться равенство но по-прежнему

Рассмотрим теперь возможность использования системы с астатизмом второго порядка при задании спектральной плотности скорости изменения входного сигнала вида, изображенного на рис. 3.9, в.

Примем передаточную функцию разомкнутой системы в виде

Соответствующая л. а. х. изображена на рис. 5.5, в. Общий коэффициент усиления должен определяться в соответствии с формулой (5.18). Постоянную времени выберем так, чтобы корни характеристического уравнения

были бы вещественными и отрицательными. Это дает Определим дисперсию ошибки в рассматриваемой системе:

Интеграл подобного типа рассматривался выше (интеграл Поэтому можно аналогичным образом записать

Продолжая рассмотрение для передаточных функций более сложного вида, можно показать, что при использовании передаточных функций вида

условие будет выполняться для любых спектральных плотностей если выбрать расположение д. а. X,

так, как это показано на рис. 5.5, в, и выполнить условие вещественности и отрицательности корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Следует заметить, что рис. 5.5, в не обязательно соответствует использованию систем с астатизмом второго порядка. Если выбрать в передаточной функции (5.48) постоянную времени так, чтобы выполнялось условие (это показано на рис. 5.5, в пунктиром), то в районе запретной области по точности подобная система будет вести себя как система с астатизмом второго порядка. Такая передаточная функция может использоваться в тех случаях, когда требуется наибольшим образом сдвинуть всю л. а. х. в область низких частот. Это дает преимущества в выполнении условий по запасу устойчивости для высокочастотной части л. а. х.

Рассмотрим теперь возможность использования спектральной плотности ускорения задающего воздействия. Пусть рис. соответствует спектральной плотности Тогда дисперсия ускорения

Спектральная плотность скорости входного воздействия

Спектральная плотность задающего воздействия

При все спектральные плотности равны нулю. Рассмотрим передаточную функцию (5.49). Общий коэффициент усиления выберем в соответствии с формулой (5.18), а постоянную времени Тогда действительная дисперсия ошибки

Коэффициенты разложения определяются формулой (5.41):

Этот случай совпадает при замене на с рассмотренным выше (5.40). Поэтому можно записать

Таким образом, и в этом случае сохраняется условие обеспечения заданной дисперсии ошибки при любой форме спектральной плотности ускорения задающего воздействия.

Следует заметить, что принятое условие вещественности корней характеристического уравнения не является особо жестким. Так как при расчете системы по излагаемой методике практически всегда оказывается некоторый запас точности то возможно отступление от этого условия в смысле допущения некоторой колебательности. Однако запас устойчивости должен оставаться достаточно большим, т. е. в системе должно наблюдаться хорошее демпфирование.

Только в предельном случае, когда входной сигнал соответствует гармонической функции с заданными значениями амплитуды и частоты (или заданными двумя дисперсиями) и со случайной фазой, оказывается, что действительная дисперсия ошибки совпадает с заданными значениями, т. е. Однако в этом случае требование вещественности корней вообще отпадает и запас устойчивости может быть произвольным при сохранении только требования устойчивости замкнутой системы.

В ответственных случаях, когда недопустимо увеличение дисперсии ошибки по сравнению с заданным значением, для гарантии этого можно добиваться получения вещественных корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Рассмотренные доказательства выполнения требований по точности при неизвестной форме спектральной плотности входного воздействия можно распространить и на цифровые системы. Непременным условием здесь должно быть расположение всей запретной области левее частоты Тогда для интервала частот, в котором располагается запретная область, будет выполняться условие

Кроме того, требование вещественности корней характеристического уравнения замкнутой системы трансформируется здесь в требование возможности разложения квадрата модуля частотной передаточной функции замкнутой системы для ошибки на простые дроби:

где V — степень астатизма системы.