§ 3.7. Приближенным расчет дополнительных ошибок ЦАС, вызванных квантованием по уровню

При рассмотрении типовых случайных процессов в § 3.4 был введен дискретный белый шум, генерируемый устройствами квантования по уровню (округления) в ЦАС. Источниками такого шума могут быть входные и выходные преобразователи ЦАС. Кроме того, процессы округления могут наблюдаться в арифметическом устройстве ЦВМ при реализации дискретных алгоритмов коррекции ЦАС. Более строго вопрос учета шумов квантования будет рассмотрен ниже в 3.8.

Линейный дискретный корректирующий алгоритм ЦВМ может представляться либо в виде передаточной функции (2.155), либо в виде разностного уравнения (2.156). Положив что всегда можно сделать, запишем передаточную функцию в виде

Этой передаточной функции соответствует разностное уравнение

Структурная схема реализации алгоритма, заданного передаточной функцией (3.124) и разностным уравнением (3.125), изображена на рис. 3.11. На схеме введены квантователи К, соответствующие округлению в

тическом устройстве ЦВМ, квантователь входного преобразователя и выходного преобразователя. Импульсные элементы, работающие с переходом Т, показаны только на входе и выходе структурной схемы и не показаны внутри структурной схемы, где они должны были бы иллюстрировать порядок производства операций в арифметическом устройстве.

Рис. 3.11. (см. скан) Структурная схема реализации линейного корректирующего алгоритма в ЦВМ.

Схема, изображенная на рис. 3.11, соответствует так называемому прямому программированию при реализации передаточной функции (3.125) или ей соответствующего разностного уравнения (3.124). Другие подходы при их реализации будут рассмотрены ниже в § 5.5.

Так как число разрядов арифметического устройства выше числа разрядов входного преобразователя, то цифровая единица младшего разряда входного преобразователя содержит цифровых единиц арифметического устройства, где — целое число (обычно ).

Если использовать изложенный выше прием замены эффекта квантования дискретным белым шумом (рис. 3.6), то структурная схема реализации линейного алгоритма ЦВМ может быть сведена к виду, изображенному на рис. 3.12. Здесь представляет собой дискретный белый шум, который генерируется входным преобразователем. Он вводится в ЦВМ с коэффициентом передачи если его рассматривать отнесенным ко входу ЦВМ.

Рис. 3.12. (см. скан) Преобразованная структурная схема реализации линейного корректирующего алгоритма в ЦВМ.

Коэффициент передачи будет равен единице, если рассматривать шум, приложенный ко входу преобразователя.

При рассмотрении шума, генерируемого входным преобразователем, возможны два случая. В системах стабилизации задающее воздействие Поэтому шум генерируется только преобразователем, осуществляющим ввод в ЦВМ управляемой величины у (рис. 1.3). В этом случае корреляционная функция шума на входе входного

преобразователя (на входе звена с коэффициентом передачи на рис. 3.12) в соответствии с изложенным

где — единичная импульсная решетчатая функция. При этом распределение шума соответствует равномерному закону в интервале

В системах с изменяющимся во времени задающим воздействием округление производится в двух преобразователях: ввода задающего воздействия и ввода управляемой величины (рис. 1.3). Поэтому корреляционная функция шума будет определяться суммарной дисперсией округления. Считая процессы округления в двух преобразователях независимыми и при равенстве их единиц младшего разряда, можно записать корреляционную функцию в виде

При этом функция распределения суммарного шума соответствует закону Симпсона. Шум, генерируемый выходным преобразователем, может быть на основании § 3.4 описан корреляционной функцией

где — цена единицы младшего разряда выходного преобразователя ЦВМ.

Шуму, генерируемому арифметическим устройством [29], на основании структурной схемы, изображенной на рис. 3.12, соответствует корреляционная функция

где — число слагаемых в правой части разностного уравнения (3.125). При этом измерение здесь производится в цифровых единицах младшего арифметического устройства.

Суммарному шуму на основании центральной предельной теоремы тем точнее будет соответствовать нормальное распределение, чем больше значение по сравнению С единицей,

При пересчете этого шума на выход ЦВМ следует учесть два обстоятельства. Во-первых, корреляционная функция (3.128) соответствует случаю размыкания обратной связи на рис. 3.12, которая охватывает нижний ряд элементарных передаточных функций. Во-вторых, следует сделать пересчет цифровых единиц арифметического устройства на цифровые единицы входного и выходного преобразователей.

Рис. 3.13. Расчетные структурные схемы учета шумов квантования в ЦАС.

При этом будем предполагать в соответствии с рис. 2.22, что в установившемся режиме единице младшего разряда на входе соответствует единица младшего разряда на выходе ЦВМ, а соотношение между ними и единицей младшего разряда арифметического устройства определяется значением

В соответствии с этим шум арифметического устройства пересчитанный на выход ЦВМ (рис. 3.13, а), может характеризоваться спектральной плотностью

Здесь — полином знаменателя (3.124) после перехода от комплексной величины z к псевдочастоте К посредством обычных подстановок. Таким образом, помеха на выходе ЦВМ, генерируемая арифметическим устройством, представляет собой не белый, а окрашенный шум. Величина

представляет собой эквивалентную полосу пропускания ЦВМ шума арифметического устройства, а — коэффициент передачи этого шума на выход. Дисперсия шума на выходе ЦВМ может быть представлена в виде

Нахождение корреляционной функции шума арифметического устройства на выходе может быть сделано в соответствии с изложенным в § 3.3. Однако следует обратить внимание на то, что структура, изображенная на рис. 3.12 и рис. 3.13, а, обычно не соответствует действительности. Это объясняется рядом факторов.

Замена нелинейного действия квантователей (рис. 3.11) на аддитивные шумы (рис. 3.12) может приближенно делаться лишь для случая независимой работы квантователей, так как предполагает в дальнейшем суперпозицию результатов, что требует линейности системы. Однако работа выходного квантователя не является независимой, так как на его вход поступают шумы арифметического устройства.

Кроме того, существование шума арифметического устройства обычно вообще не подтверждается, так как коэффициенты, входящие в (3.124) и (3.125), выбираются в виде целого количества младших разрядов арифметического устройства (т. е. фактически округляются при записи их в память машины) и никакого округления после умножения на эти коэффициенты не происходит. Лишь в некоторых особых случаях, связанных с

использованием сдвига разрядных сеток арифметического устройства, возможно появление необходимости в округлении.

Если коэффициенты, входящие в (3.124) и (3.125), выбираются в виде целого количества единиц младшего разряда входного преобразователя (при а также в случае не происходит округления и в выходном преобразователе. Тогда единственным источником шума оказывается входной преобразователь.

В связи с изложенным расчетная схема учета квантования в ЦАС для случая, когда округление происходит как во входном, так и в выходном преобразователе, изображена на рис. Помехи являются дискретными белыми шумами с корреляционными функциями вида (3.126) или (3.127) для и (3.128) для

Возможен перенос действия двух помех в одну точку. На рис. 3.13, в изображен случай приведения помехи на выход ЦВМ в виде помехи Для помехи спектральная плотность

где принимает значения 1 или 2 в зависимости от вида исходной формулы (3.126) или (3.127), — передаточная функция ЦВМ после перехода от комплексной величины z к псевдочастоте .

Коэффициент в общем случае равен числу суммируемых на входе ЦВМ сигналов. Оно может быть и больше двух, если, например, на вход поступают, кроме задающего воздействия и управляемой величины, их производные, сигналы, компенсирующие возмущения, приложенные к системе, и т. п. В этом случае спектральная плотность суммарной помехи на выходе ЦВМ от квантования по уровню может быть представлена в виде

При этом предполагается, что процессы квантования на входе и выходе ЦВМ независимы. При а также при целочисленном выборе коэффициентов передаточной функции для первое слагаемое в правой части (3.134) обращается в нуль.

Помеху квантования в выходном преобразователе можно отнести ко входу ЦВМ (рис. 3.13, г) в виде

сигнала Для него спектральная плотность может быть записана в виде

В этом случае дисперсия сигнала может, вообще говоря, стремиться к бесконечности. Это будет, если степень числителя ниже, чем степень знаменателя. Тогда интегрирование (3.135) в бесконечных пределах дает расходящийся результат. Однако такой перенос помехи на вход следует рассматривать лишь как некоторый расчетный прием. То обстоятельство, что сигналу не может соответствовать никакой реальный процесс, не вызывает здесь затруднений.

Результирующая спектральная плотность шумов квантования, отнесенная ко входу ЦВМ,

При а также при целочисленном выборе коэффициентов передаточной функции для второе слагаемое в правой части (3.136) обращается в нуль.

Корреляционные функции для спектральных плотностей (3.134) и (3.136) могут быть найдены в соответствии с изложенным в § 3.3.

Спектральная плотность дополнительной ошибки, вызываемой квантованием по уровню, может быть получена на основе спектральных плотностей (3.134) или (3.136):

где — частотная дискретная передаточная функция разомкнутой — частотная дискретная передаточная функция непрерывной части ЦАС.

Интегрирование (3.137) дает дисперсию дополнительной ошибки, вызванной квантованием по уровню на входе и выходе ЦВМ:

Формула (3.138) может быть также представлена в следующем виде:

В этой формуле частотная передаточная функция замкнутой системы

частотная передаточная функция непрерывной части при замкнутой главной обратной связи

— эквивалентная полоса пропускания замкнутой системы, — эквивалентная полоса пропускания непрерывной части ЦАС при замкнутой главной обратной связи. Передаточные функции определяются в соответствии с изложенным в § 2.5.

Если а также при целочисленном выборе коэффициентов передаточной функции (3.124) для второе слагаемое в правой части (3.139) необходимо положить равным нулю.