§ 2.4. Передаточные функции ЦВМ

Передаточная функция ЦВМ представляет собой отношение изображений входной и выходной величин (рис. 2.13), взятых в безразмерной (цифровой) форме:

— изображения (-преобразования) решетчатых функций Заметим, что всегда должно быть Поделим числитель и знаменатель (2.154) на Тогда для предельного случая имеем

Из последнего выражения может быть получено разностное уравнение типа (2.98) при

соответствующее линейному алгоритму работы ЦВМ.

Если в установившемся режиме, т. е. при передаточная функция ЦВМ имеет конечное значение то это соответствует реализации алгоритмом работы машины дискретного звена статического типа. В этом случае передаточную функцию ЦВМ можно представить в виде Для выполняется условие Коэффициент представляет собой коэффициент передачи ЦВМ. Рассмотрим теперь возможные значения коэффициента Будем считать, что входная величина рассматривается в виде целого числа, определяющего содержащееся в нем число единиц младшего разряда входного преобразователя. Выходную величину также будем рассматривать в виде целого числа, определяющего содержащееся в нем число единиц младшего разряда выходного преобразователя. Коэффициент определяет при этом число единиц младшего разряда выходного преобразователя, которое будет содержаться в установившемся значении при входном сигнале При этом — целое число, которое удобно выбирать в виде целой степени двойки, т. е. в виде где — целое число.

Значение соответствует единичному коэффициенту передачи ЦВМ. Этот случай является распространенным. При будет усиление входного сигнала в установившемся режиме. Случай здесь невозможен, так как наименьшее значение Однако случай можно определить через величину которую надо иметь на входе, чтобы в установившемся режиме иметь на выходе Очевидно, что этот случай соответствует ослаблению входного сигнала в раз. При этом — целое число, которое также удобно выражать в виде

Рассмотрим теперь возможные случаи вида определяемые значениями коэффициентов, входящих в (2.155).

1. Пусть формула (2.155) имеет вид

Если коэффициенты суть целые числа, то, как следует из разностного уравнения (2.156), записанного для передаточной функции (2.157),

выходная величина ЦВМ, определяемая этим алгоритмом работы, всегда будет целым числом, кратным как в установившемся, так и в переходном режимах.

Выбор значения здесь возможен и целесообразен. Этот случай изображен на рис. 2.22, а, где показаны разрядные сетки входной величины выходной величины и арифметического устройства Бездействующие разряды показаны штриховой линией. Показано также прохождение сигнала в установившемся режиме при

Выбор здесь невозможен. Действительно, раз на выходе ЦВМ может появляться только величина, кратная то число и будет представлять собой единицу младшего разряда выходного преобразователя. Если и предусмотреть в нем еще более мелкие единицы выходной величины, то они все равно никогда не будут работать и их введение не имеет смысла. Это показано на рис. 2.22, б.

В случае целочисленных коэффициентов формулы (2.158) оказываются бездействующими и дополнительные разряды арифметической части ЦВМ. Младший разряд входного преобразователя будет при этом и действующим младшим разрядом арифметического устройства.

Случай, когда вообще говоря, здесь возможен. Однако обычно и его следует считать нерациональным, так как он практически эквивалентен загрублению входных преобразователей. Эго объясняется тем, что для получения выходного сигнала хотя бы единичного значения на входе ЦВМ должно быть единиц младшего разряда входного преобразователя. Однако уменьшение значения единицы младшего разряда, которая была выше обозначена символом представляет собой серьезную техническую проблему. Поэтому приходится ориентироваться на то значение, которое может быть практически реализовано во входном преобразователе. Введение означает, что чувствительность преобразователя будет не Это показано на рис. 2.22, в, где стрелками

изображено прохождение сигнала в установившемся режиме при

2. Пусть рассматриваемая передаточная функция (2.155) сводится к виду

а коэффициент передачи и все остальные коэффициенты, входящие в (2.159), суть целые числа. Разностное уравнение в этом случае имеет вид

Рис. 2.22. (см. скан) Разрядные сетки ЦВМ.

Из него следует, что при целочисленности величина также может принимать только целочисленные значения, однако не обязательно кратные Это значит, что дополнительные разряды арифметического устройства ЦВМ здесь работать не будут и никакого округления вычисленной величины не требуется.

В этом случае выбор значения возможен и целесообразен. Он совпадает с изображенным на рис. 2.22, а. Выбор возможен, но, как правило, оказывается нецелесообразным вследствие увеличения общего числа разрядов выходного преобразователя и, следовательно, усложнения последнего.

Поясним сказанное примером. Пусть при динамическом расчете системы с ЦВМ оказалось, что в некотором установившемся режиме для обеспечения воспроизведения требуемого закона движения объекта и парирования действующих возмущений на входе ЦВМ будет существовать постоянный по величине сигнал представляющий собой целое число. Тогда на выходе ЦВМ будет существовать сигнал

Значение соответствует числу единиц младшего разряда выходного преобразователя, которое требуется для обеспечения рассматриваемого режима. При увеличении это число возрастает, что соответствует переходу к более мелким единицам выходного преобразователя и увеличению его общего числа разрядов.

Это поясняет рис. 2.22, г, на котором стрелками показано прохождение сигнала в установившемся режиме при

Однако следует заметить, что окончательный выбор значения или может быть сделан только после исследования дополнительных ошибок и периодических режимов, вызванных квантованием по уровню.

Случай здесь, как и ранее, обычно нецелесообразен вследствие его эквивалентности загрублению входного преобразователя (см. рис. 2.22, в).

3. Пусть теперь рассматривается передаточная функция (2.159) при целочисленности коэффициента передачи и невыполнении условия целочисленности всех остальных коэффициентов.

Тогда, как следует из (2.160), при вычислении в арифметическом устройстве величины она может быть как целым, так и дробным числом. Это значит, что в арифметическом устройстве будут действовать дополнительные младшие разряды, которые необходимы для повышения точности вычислений. После завершения вычислений должно быть сделано округление найденного значения

Округление может производиться до целых значений. Это будет соответствовать . Можно ввести округление до целых значений величины где целое число. Это будет эквивалентно введению коэффициента передачи что изображено на рис. 2.22, е.

Как и ранее, увеличение значения по сравнению с единицей приводит к усложнению выходного преобразователя (увеличивает число его разрядов).

Случай мало целесообразен вследствие загрубления входных преобразователей.

Если в ЦВМ осуществляется интегрирование входных сигналов, аналогом которого в дискретных системах является суммирование, определяемое формулами (2.26) или (2.27), то в соответствии с формулами изображений сумм (2.66) и (2.68) знаменатель передаточной функции ЦВМ (2.155) должен иметь множитель Это дает возможность представить передаточную функцию ЦВМ в виде

где

Функция выбрана здесь так, что Тогда в установившемся режиме при на выходе ЦВМ будет существовать линейно нарастающее значение первая разность которого в соответствии с (2.73) будет в пределе иметь вид

а производная производящей функции —

Ввиду относительной малости обычно используемых периодов повторения допустимые значения коэффициента как правило, малы

Формула (2.161) может быть часто представлена в виде суммы дробей

Здесь функция выбрана так, что Выбор значений коэффициента определяется соображениями, изложенными выше.

При двойном интегрировании в знаменателе передаточной функции появится сомножитель при тройном —