Передаточная функция разомкнутой системы.

Так как в системах управления при как правило, используется единичная главная обратная связь, то структурная схема, изображенная на рис. 4.1, можег быть приведена к виду, показанному на рис. 4.6. Передаточная функция разомкнутой системы

или

Рис. 4.6. Оптимальный фильтр с единичной главной обратной связью.

Для случая, когда помеха представляет собой белый шум, из (4.47) имеем

Из последней формулы видно, что имеет полюсы, совпадающие с полюсами , следовательно, является устойчивым реализуемым фильтром. Эти полюсы суть полюсы спектра полезного сигнала, расположенные в левой полуплоскости (в том числе полюсы, лежащие на оси Таким образом, если спектр полезного сообщения может быть представлен в виде

то схема оптимальной системы с единичной обратной связью будет иметь вид, изображенный на рис. 4.7. Эта схема носит название канонической. Передаточная функция разомкнутой системы при этом

Нетрудно показать, что степень числителя (4.52) всегда на единицу меньше степени знаменателя вне зависимости от присутствия соответствующей степени в числителе (4.51).

Рис. 4.7. Каноническая схема оптимального фильтра.

Задача нахождения оптимальной передаточной функции в этом случае сводится к нахождению числителя (4.52), что, однако, не уменьшает требуемого объема вычислений.

Пример 4.1. Рассмотрим нахождение оптимальной передаточной функции в системе с единичной главной обратной связью при для случая, когда полезный сигнал представляет собой типовой входной процесс следящей системы со спектральной плотностью

где — дисперсия входной скорости, а помеха — белый шум со спектральной плотностью Взаимная корреляция между сигналами отсутствует. Для этого случая имеем

где

Выделим множитель

В соответствии с формулой (4.47) передаточная функция замкнутой системы

где

Далее можно найти передаточную функцию разомкнутой системы

где общий коэффициент усиления разомкнутой системы

Анализ последней зависимости раскрывает физическую сущность выбора общего коэффициента усиления, который должен быть тем больше, чем больше дисперсия скорости входного сигнала и чем меньше уровень белого шума. При этом величина общего коэффициента усиления пропорциональна корню квадратному из их отношения.

Ошибки в оптимальных системах. Для исходной схемы (рис. 4.1) можно записать дисперсию ошибки в виде

Если в последней формуле использовать равенство (4.23), то получим для стационарного случая

Так как при весовая функция то нижний предел интегрирования в (4.54) можно заменить на Кроме того, для оптимальной частотной передаточной функции замкнутой системы можно записать

где

Подстановка обратного преобразования (4.55) в формулу (4.54) дает

Выражение в квадратных скобках равно Поэтому дисперсия ошибки может быть представлена в виде

где — дисперсия задающего воздействия

Формула (4.58) может быть представлена в другом виде, если использовать спектральные плотности сигналов. Первое слагаемое в формуле (4.58)

Второе слагаемое

где

Таким образом, расчетная формула для определения дисперсии ошибки по спектральным плотностям приобретает вид

При учете формулы (4.39), из которой следует зависимость

выражение (4.61) можно привести к виду

Однако формулы (4.58) и (4.61) оказываются малопригодными в тех случаях, когда задающее воздействие соответствует нестационарному процессу с неограниченно возрастающей дисперсией. Это может быть, например, при рассмотрении задающего воздействия, представляющего собой типовой входной сигнал следящей системы [8]. При этом наличие в следящей системе астатизма приводит к стационарности и конечности дисперсии ошибки системы. Преобразуем для этого случая формулу (4.61), ограничиваясь условием также отсутствием

корреляционных связей между полезным сигналом и помехой Тогда

Выражение в квадратных скобках в соответствии с изложенным выше должно содержать множитель совпадающий с таким же делителем, содержащимся в спектральной плотности Поэтому интегрирование выражения, находящегося под знаком первого интеграла (4.63), не дает расходящегося результата, что соответствует конечности дисперсии ошибки системы.

Формулу (4.63) можно записать в другом виде. На основании § 3.6 при отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой дисперсия ошибки определяется выражением

Формулы (4.63) и (4.64) являются адекватными и могут одинаково использоваться.

Пример 4.2. Определим минимальное значение дисперсии ошибки системы управления для условий примера 4.1. Воспользуемся формулой расчета ошибки (4.64). Предварительно определим квадраты модулей, входящие в подынтегральные выражения:

Первое слагаемое в формуле (4.64)

Второе слагаемое

Суммарная дисперсия ошибки оптимальной системы

Дисперсия может быть сделана равной нулю при (неподвижное положение), при (бесконечно малые перемещения на входе) и при (отсутствие помех).