Главная > Цифровые автоматические системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Алгоритм фильтра Калмана для дискретных систем.

В дискретных системах устройство для получения оптимальной оценки можно рассматривать как линейный фильтр, на вход которого поступает последовательность наблюдаемых величин Вычисление оценки в случае отсутствия помех представляет собой процесс, в котором используется прежняя оценка и последние значения наблюдаемых величин в какой-либо единственный момент времени. Если предположить, что к моменту поступления наблюдения была вычислена оценка на основании (предыдущего) наблюдения, то доказывается, что оценка к моменту поступления наблюдения по результатам к наблюдений должна представлять собой линейное выражение вида

где

Здесь — переходная матрица, — переходная матрица линейной динамической системы, дающей ошибку оценки, — матричный коэффициент усиления. После подстановки имеем

Произведение оценка функции полученная на основе первых наблюдений, т. е. оценка прогноза. Выражение в фигурных скобках (4.160) есть разность между результатом наблюдения входной величины и оценкой его прогноза на основании наблюдений на момент времени . Матрица играет роль весовой. При этом произведение на величину разности в фигурных скобках образует приращение к оценке.

Обозначим ошибку отработки задающего воздействия в виде

В соответствии с формулами (4.160) и (4.161) может быть построена структурная схема оптимального фильтра

так, как это изображено на рис. 4.17. Фильтр содержит линейную динамическую систему того же вида, что и исходная система формирования случайного процесса. При этом в каждый данный момент на выходе фильтра имеется оценка полученная по данным на момент времени , а на входе — последнее измерение наблюдаемой величины.

Реализация фильтра требует знания модели случайного процесса и воспроизведения матричного коэффициента усиления

Рис. 4.17. Матричная структурная схема дискретного оптимального фильтра.

Как и в непрерывных системах, ошибка оценки переменных состояния также определяется линейной динамической системой в соответствии с уравнением

где — переходная матрица для ошибки. Из последнего выражения можно получить рекуррентное соотношение для корреляционной матрицы ошибок оценки Так как матрица-столбец и не зависит от матрицы-столбца ошибок в то

причем в соответствии с (4.138)

где симметричная положительно-определенная матрица Матричный коэффициент усиления определяется выражением

Подставив (4.159) в формулу (4.163) и использовав также выражение для матричного коэффициента усиления, можно получить рекуррентные соотношения для корреляционной матрицы в двух видах:

Второе равенство (4.165) представляет собой нелинейное рекуррентное уравнение для корреляционной матрицы, которое и может быть использовано для ее нахождения.

Как и в непрерывном случае, для решения задачи должны быть заданы начальные значения переменных состояния и начальные значения корреляционной матрицы Р [0]. Предполагая, что эта матрица положительно-определенная, можно найти из (4.165), — из (4.159) и — из (4.164). Если матрица положительно-определенная, то все значения будут также положительно-определенные и требования для получения согласно (4.165) будут выполняться на каждом шаге.

Оценка точности отработки задающего воздействия может быть получена из (4.161):

Это дает корреляционную матрицу ошибок отработки задающего воздействия

которая может быть определена из корреляционной матрицы для оценки переменных состояния (4.164).

В рассмотренном оптимальном фильтре оценка в момент времени получается по результатам предыдущих измерений, т. е. до момента времени включительно. Такая постановка характерна, например, для тех случаев, когда оптимальный фильтр включает в себя некоторый непрерывный объект управления. Тогда вследствие того, что в реальных объектах управления начальное значение его переходной функции равно нулю, выходная величина объекта (управляемая величина) не может измениться в момент времени под действием сигнала, поступившего на вход системы в этот же момент времени.

Однако если оптимальный фильтр представляет собой только счетно-решающую схему на дискретных элементах, предназначаемую для выработки оценки какой-либо величины (или величин), например, в задачах сглаживания и упреждения, то такого ограничения нет и входная величина в момент времени может быть использована для выработки выходной величины в этот же момент времени. Тогда для оптимальной фильтрации с учетом помех измерения получаются следующие алгоритмы. Уравнение оптимального фильтра:

Уравнение для матричного коэффициента усиления:

Дисперсионные уравнения:

Два последних уравнения можно свести к одному, исключив при этом двойной аргумент в корреляционной матрице:

Решение этого нелинейного разностного уравнения и определяет корреляционную матрицу

В соответствии с уравнениями (4.168)-(4.171) на рис. 4.18 изображена структурная схема оптимального фильтра совместно с моделью процесса и блоком выработки коэффициентов усиления (весовых коэффициентов). Как и ранее, корреляционная матрица ошибок может быть определена на основании формулы, аналогичной (4.167):

Эта матрица может быть использована для оценки ошибок отработки задающих воздействий. Как уже отмечалось выше, в реальных системах управления невозможно получить мгновенную реакцию в момент времени на входной сигнал, поступавший в тот же момент времени. Поэтому схема на рис. 4.18 является идеализированной. В реальных системах управления приходится отступать от этой схемы и использовать субоптимальные системы.

В заключение отметим некоторые обобщения метода оптимальной фильтрации Калмана. В изложенных выше основах предполагалось, что помеха представляет собой белый шум. Возможна постановка вопроса оптимальной фильтрации и в тех случаях, когда эта помеха представляет собой «окрашенный» шум [106].

Требование того, чтобы дисперсии входных случайных процессов были заранее известны, может быть снято. В работе [119] принят метод, согласно которому законы распределения случайных процессов считаются нормальными, но с неизвестными дисперсиями. В результате предлагается оптимальный фильтр, который, наряду с оценкой переменных состояния процесса, позволяет дать оценку

(кликните для просмотра скана)

также и неизвестным дисперсиям. Этот фильтр, по сути дела, оказывается расширенным фильтром Калмана.

В статье [18] дается обзор методов решения задач построения дискретных фильтров Калмана—Бьюси при неизвестных корреляционных матрицах шумов. Для целей анализа эта проблема включает в себя проверку обоснованности модели, используемой в задаче фильтрации Калмана — Бьюси, путем исследования остаточных ошибок фильтрации и оценку ухудшения характеристик системы (анализ ошибок) при неточном моделировании системы.

Для целей синтеза рассматривается проектирование оптимального фильтра, ограничивающего в допустимых пределах ошибки оценки, вызванные отсутствием информации о модели системы, и оценивающего одновременно корреляционные матрицы неизвестных шумов и состояние системы.

Оценке влияния неточного знания априорной информации и возможностям адаптации посвящены работы [81, 86].

1
Оглавление
email@scask.ru