Алгоритм фильтра Калмана для дискретных систем.

В дискретных системах устройство для получения оптимальной оценки можно рассматривать как линейный фильтр, на вход которого поступает последовательность наблюдаемых величин Вычисление оценки в случае отсутствия помех представляет собой процесс, в котором используется прежняя оценка и последние значения наблюдаемых величин в какой-либо единственный момент времени. Если предположить, что к моменту поступления наблюдения была вычислена оценка на основании (предыдущего) наблюдения, то доказывается, что оценка к моменту поступления наблюдения по результатам к наблюдений должна представлять собой линейное выражение вида

где

Здесь — переходная матрица, — переходная матрица линейной динамической системы, дающей ошибку оценки, — матричный коэффициент усиления. После подстановки имеем

Произведение оценка функции полученная на основе первых наблюдений, т. е. оценка прогноза. Выражение в фигурных скобках (4.160) есть разность между результатом наблюдения входной величины и оценкой его прогноза на основании наблюдений на момент времени . Матрица играет роль весовой. При этом произведение на величину разности в фигурных скобках образует приращение к оценке.

Обозначим ошибку отработки задающего воздействия в виде

В соответствии с формулами (4.160) и (4.161) может быть построена структурная схема оптимального фильтра

так, как это изображено на рис. 4.17. Фильтр содержит линейную динамическую систему того же вида, что и исходная система формирования случайного процесса. При этом в каждый данный момент на выходе фильтра имеется оценка полученная по данным на момент времени , а на входе — последнее измерение наблюдаемой величины.

Реализация фильтра требует знания модели случайного процесса и воспроизведения матричного коэффициента усиления

Рис. 4.17. Матричная структурная схема дискретного оптимального фильтра.

Как и в непрерывных системах, ошибка оценки переменных состояния также определяется линейной динамической системой в соответствии с уравнением

где — переходная матрица для ошибки. Из последнего выражения можно получить рекуррентное соотношение для корреляционной матрицы ошибок оценки Так как матрица-столбец и не зависит от матрицы-столбца ошибок в то

причем в соответствии с (4.138)

где симметричная положительно-определенная матрица Матричный коэффициент усиления определяется выражением

Подставив (4.159) в формулу (4.163) и использовав также выражение для матричного коэффициента усиления, можно получить рекуррентные соотношения для корреляционной матрицы в двух видах:

Второе равенство (4.165) представляет собой нелинейное рекуррентное уравнение для корреляционной матрицы, которое и может быть использовано для ее нахождения.

Как и в непрерывном случае, для решения задачи должны быть заданы начальные значения переменных состояния и начальные значения корреляционной матрицы Р [0]. Предполагая, что эта матрица положительно-определенная, можно найти из (4.165), — из (4.159) и — из (4.164). Если матрица положительно-определенная, то все значения будут также положительно-определенные и требования для получения согласно (4.165) будут выполняться на каждом шаге.

Оценка точности отработки задающего воздействия может быть получена из (4.161):

Это дает корреляционную матрицу ошибок отработки задающего воздействия

которая может быть определена из корреляционной матрицы для оценки переменных состояния (4.164).

В рассмотренном оптимальном фильтре оценка в момент времени получается по результатам предыдущих измерений, т. е. до момента времени включительно. Такая постановка характерна, например, для тех случаев, когда оптимальный фильтр включает в себя некоторый непрерывный объект управления. Тогда вследствие того, что в реальных объектах управления начальное значение его переходной функции равно нулю, выходная величина объекта (управляемая величина) не может измениться в момент времени под действием сигнала, поступившего на вход системы в этот же момент времени.

Однако если оптимальный фильтр представляет собой только счетно-решающую схему на дискретных элементах, предназначаемую для выработки оценки какой-либо величины (или величин), например, в задачах сглаживания и упреждения, то такого ограничения нет и входная величина в момент времени может быть использована для выработки выходной величины в этот же момент времени. Тогда для оптимальной фильтрации с учетом помех измерения получаются следующие алгоритмы. Уравнение оптимального фильтра:

Уравнение для матричного коэффициента усиления:

Дисперсионные уравнения:

Два последних уравнения можно свести к одному, исключив при этом двойной аргумент в корреляционной матрице:

Решение этого нелинейного разностного уравнения и определяет корреляционную матрицу

В соответствии с уравнениями (4.168)-(4.171) на рис. 4.18 изображена структурная схема оптимального фильтра совместно с моделью процесса и блоком выработки коэффициентов усиления (весовых коэффициентов). Как и ранее, корреляционная матрица ошибок может быть определена на основании формулы, аналогичной (4.167):

Эта матрица может быть использована для оценки ошибок отработки задающих воздействий. Как уже отмечалось выше, в реальных системах управления невозможно получить мгновенную реакцию в момент времени на входной сигнал, поступавший в тот же момент времени. Поэтому схема на рис. 4.18 является идеализированной. В реальных системах управления приходится отступать от этой схемы и использовать субоптимальные системы.

В заключение отметим некоторые обобщения метода оптимальной фильтрации Калмана. В изложенных выше основах предполагалось, что помеха представляет собой белый шум. Возможна постановка вопроса оптимальной фильтрации и в тех случаях, когда эта помеха представляет собой «окрашенный» шум [106].

Требование того, чтобы дисперсии входных случайных процессов были заранее известны, может быть снято. В работе [119] принят метод, согласно которому законы распределения случайных процессов считаются нормальными, но с неизвестными дисперсиями. В результате предлагается оптимальный фильтр, который, наряду с оценкой переменных состояния процесса, позволяет дать оценку

(кликните для просмотра скана)

также и неизвестным дисперсиям. Этот фильтр, по сути дела, оказывается расширенным фильтром Калмана.

В статье [18] дается обзор методов решения задач построения дискретных фильтров Калмана—Бьюси при неизвестных корреляционных матрицах шумов. Для целей анализа эта проблема включает в себя проверку обоснованности модели, используемой в задаче фильтрации Калмана — Бьюси, путем исследования остаточных ошибок фильтрации и оценку ухудшения характеристик системы (анализ ошибок) при неточном моделировании системы.

Для целей синтеза рассматривается проектирование оптимального фильтра, ограничивающего в допустимых пределах ошибки оценки, вызванные отсутствием информации о модели системы, и оценивающего одновременно корреляционные матрицы неизвестных шумов и состояние системы.

Оценке влияния неточного знания априорной информации и возможностям адаптации посвящены работы [81, 86].