§ 4.4. Использование фильтров Винера в цифровых системах

При реализации фильтров Винера в цифровых системах возникает задача учета явлений квантования по времени и квантования по уровню. Остановимся вначале на квантовании по времени.

Импульсный характер работы цифровых систем будет оказывать заметное влияние на работу системы и должен учитываться при расчете в тех случаях, когда период дискретности не может считаться малым. Понятие малости связано с видом полезного сигнала, который поступает на вход системы, а точнее — с его спектральной плотностью.

В предыдущем параграфе было показано, что частотная передаточная функция разомкнутой системы, реализующей оптимальную частотную передаточную функцию при действии помехи типа белого шума, имеет полюсы, совпадающие с полюсами спектральной плотности полезного сигнала лежащими в верхней полуплоскости.

Частотная передаточная функция линеаризованной цифровой системы практически совпадает с частотной передаточной функцией непрерывной системы, если будет выполняться условие

где — наибольший по модулю мнимый полюс частотной передаточной функции (он соответствует наибольшему по модулю вещественному полюсу в -плоскости передаточной функции), Т — период дискретности. Для комплексных корней в -плоскости аналогичное условие имеет вид

где — наибольшее значение мнимой части комплексного корня.

Рис. 4.11. Дискретный вариант фильтра Винера.

При выполнении условий (4.76) и (4.77) применительно к полюсам спектральной плотности полезного сигнала учет квантования по времени оказывается ненужным и система может рассчитываться как непрерывная с последующим использованием ЦВМ. При действии коррелированной помехи сформулированное условие сохраняет свою силу, если при выбранном периоде дискретности время корреляции помехи меньше периода дискретности и она может рассматриваться как дискретный белый шум.

При невыполнении условий (4.76) и (4.77), точнее, при невозможности выполнить эти условия соответствующим выбором периода дискретности, необходимо перейти к рассмотрению дискретных фильтров Винера. Дискретный вариант фильтра изображен на рис. 4.11. Полезный сигнал и помеха представлены в виде решетчатых функций Передаточной функции оптимального фильтра соответствует приведенная весовая функция связанная с передаточной функцией -преобразованием. В качестве критерия качества рассматривается дисперсия

решетчатой функции ошибки в виде

Как и ранее, изображение задающего воздействия связано с изображением полезного сигнала зависимостью

Дискретизация уравнения Винера — Хопфа (4.23) дает основное уравнение для определения приведенной весовой функции оптимального фильтра:

где корреляционная функция суммарного решетчатого входного сигнала

а взаимная корреляционная функция определяется здесь выражением

Приведенная весовая функция представляет собой реакцию фильтра на единичную решетчатую импульсную функцию

В формуле (4.81) использованы корреляционные функции полезного сигнала помехи и взаимные корреляционные функции полезного сигнала и помехи и Этим функциям соответствуют спектральные плотности, которые могут быть записаны в зависимости от псевдочастоты: .

В формуле (4.82) использованы взаимные корреляционные функции полезного сигнала и желаемого значения

управляемой величины а также помехи и желаемого значения управляемой величины Им соответствуют спектральные плотности

На основании рис. 4.11 можно записать следующие равенства:

В частном случае, когда рассматривается задача оптимальной фильтрации, Тогда

В задаче предсказания где — число тактов, на которое осуществляется предсказание, а время предсказания где Г — период дискретности. Тогда

Рассмотрим решение дискретного уравнения Винера — Хопфа на основе изложенного в § 4.3. Если корреляционная функция соответствовала бы дискретному белому шуму. т. е. имело бы место равенство то решение (4.80) было бы

Корреляционной функции соответствует спектральная плотность

Передаточную функцию отбеливающего (декоррелирующего) фильтра можно получить из условия

Представив спектральную плотность в виде

где получим частотную передаточную функцию отбеливающего фильтра

Пусть, например, спектральная плотность имеет вид (3.59):

Представим ее как произведение комплексно-сопряженных величин:

Отсюда определяется искомая передаточная функция отбеливающего фильтра (4.90):

Рис. 4.12. Оптимальный дискретный фильтр с выделенной отбеливающей частью.

Рассматривая теперь оптимальный фильтр с выделенной отбеливающей частью (рис. 4.12), формирующей сигнал из смеси можем записать уравнение (4.80) в виде

где приведенной весовой функции

соответствует оптимальная передаточная функция Корреляционной функции соответствует спектральная

плотность

Подобно изложенному в § 4.3, можно показать, что частотная передаточная функция оптимального фильтра должна определяться в соответствии с выражением, аналогичным (4.39). При этом надо учесть, что приведенная весовая функция связана с реализуемой частью передаточной функции соотношением

В результате для оптимальной частотной передаточной функции имеем

где

Формула (4.95) совпадает с (4.39) при замене на Таким образом, процедура нахождения оптимальной частотной передаточной функции в дискретных системах оказывается аналогичной непрерывным системам, если вместо обычной круговой частоты использовать псевдочастоту.

Определение минимальной дисперсии ошибки (4.78) в соответствии с изложенным в главе 3 может быть сделано по формулам (4.61), (4.62) и (4.63) при замене круговой частоты на псевдочастоту к и учете дополнительного множителя В результате имеем

В другом виде формула для минимальной дисперсии ошибки, аналогично (4.63), будет иметь вид

Переход от частотной передаточной функции оптимального фильтра к дискретной передаточной функции может быть сделан в результате подстановок а затем Таким образом, оптимальная дискретная передаточная функция замкнутой системы

Эта функция и должна реализовываться в цифровой системе управления.