ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ

§ 2.1. Вводные замечания

Известна методика исследования линеаризованных нелинейных непрерывных систем [8, 24, 62]. Эта методика основывается на переходе от нелинейной системы к линеаризованной посредством использования разложения нелинейных зависимостей в ряд Тейлора с последующим сохранением для исследования только линейных членов разложения.

Рис. 2.1. Нелинейное непрерывное динамическое звено с двумя выходами.

Так, например, пусть для нелинейного звена (рис. 2.1, а) дано дифференциальное уравнение вида

где — входные величины, — выходная величина, — внешнее воздействие, и — некоторые нелинейные функции. Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при некоторых постоянных значениях Тогда уравнение установившегося состояния для данного звена согласно (2.1) будет

В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные (в данном случае могут

быть разложены в ряд Тейлора и они изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми (рис. 2.1, б).

Обозначим указанные отклонения через Тогда в динамическом процессе

Условие достаточной малости динамических отклонений переменных от некоторых установившихся значений для системы автоматического управления и следящих систем обычно выполняется. Этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы.

Внешнее же воздействие не зависит от работы автоматической системы, изменение его может быть произвольным, и поэтому правая часть уравнения (2.1) обычно линеаризации не подлежит (в отдельных случаях и она может быть линеаризована).

Первый способ линеаризации. Разложим функцию стоящую в левой части уравнения (2.1), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений, рассматривая все производные тоже как самостоятельные переменные. Тогда уравнение (2.1) примет вид

где через для краткости обозначена величина взятая при (т. е. сперва берется в общем виде частная производная от функции по после чего в нее вместо всех переменных подставляются их постоянные значения .

Следовательно, все частные производные в полученном уравнении (2.4) представляют собой некоторые постоянные коэффициенты. Они будут переменными во времени, если функция содержит в явном виде или если установившийся процесс в системе определяется переменными значениями

Члены высшего порядка малости, указанные в уравнении (2.4), состоят из произведений и степеней малых отклонений с коэффициентами в виде смешанных частных производных и частных производных второго и высших порядков от функции по всем переменным.

Вычтя из уравнения (2.4) почленно уравнение установившегося состояния (2.2) и отбросив члены высшего порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнение динамики данного звена в виде

Это дифференциальное уравнение, так же как и (2.1), описывает тот же динамический процесс в том же звене автоматической системы. Отличие этого уравнения от (2.1) состоит в следующем:

1) уравнение (2.5) является более приближенным, ибо в процессе его вывода были отброшены малые высшего порядка;

2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полные величины а их отклонения от некоторых установившихся значений

3) полученное уравнение оказывается линейным относительно отклонений с постоянными коэффициентами (или с переменными коэффициентами, если содержит в явном виде, а также когда установившийся процесс определяется переменными величинами например в программном управлении).

Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута. Уравнение (2.5) называется дифференциальным уравнением звена в отклонениях. Проделав то же самое для всех звеньев системы, получим в результате линеаризованные уравнения процесса управления в отклонениях (или, как называют еще, уравнения в вариациях).

Приведем геометрическую трактовку этого способа линеаризации. Изобразим графически зависимость от при постоянных значениях всех остальных переменных:

Пусть эта зависимость имеет вид кривой, представленной на рис. 2.2, а. Отметим значение и проведем в точке С касательную. Тогда

где — угол наклона касательной в точке для которой и

Заметим, что, строго говоря, выражение (2.6) записано некорректно, так как справа находится безразмерная величина а слева — величина, которая в общем случае имеет некоторую физическую размерность.

Рис. 2.2. Геометрический смысл линеаризации.

Более строго выражение (2.6) должно быть записано в виде

где — масштабы величин и откладываемых на осях (рис. 2.1). Однако такая запись, вообще говоря, имеется в виду и в выражении (2.6).

Замена и сокращение члена (2.7), производившиеся раньше аналитически, здесь эквивалентны

переносу начала координат в точку С (рис. 2.2, а), в результате чего получается график рис. 2.2, б.

Первый член линейного уравнения (2.5) согласно (2.6) означает, что линеаризация уравнения геометрически может трактоваться как замена первоначальной кривой на касательную к ней прямую Из графика рис. 2.2, б очевидно, что эта замена тем точнее, чем меньшие величины отклонения возникают в исследуемом динамическом процессе (основная предпосылка для линеаризации); границы отклонений для которых допустима линеаризация, тем шире, чем ближе кривая к прямой Последним обстоятельством и определяются практически в каждой задаче те границы, внутри которых отклонения можно считать «достаточно малыми».

В ряде задач отличие от линейности, показанное на рис. 2.2, б, бывает столь незначительным, что даже в сравнительно большом диапазоне отклонений можно считать систему линейной. В случае же ярко выраженной нелинейной зависимости линеаризации будет справедлива лишь на соответствующем более узком участке отклонений

Линеаризация в рассматриваемом смысле может быть совершенно недопустимой при скачкообразных зависимостях (релейные характеристики, сухое трение). Такого рода зависимости называются существенно нелинейными. Если по указанным причинам не может быть подвергнуто линеаризации уравнение только одного звена системы или даже только часть функции для данного звена, то производят линеаризацию всех остальных нелинейных зависимостей, оставляя только одну или несколько существенно нелинейных.

Из приведенной геометрической иллюстрации вытекает второй способ линеаризации уравнений системы автоматического регулирования, который весьма часто применяется на практике. Этот способ заключается в том, что с самого начала все криволинейные зависимости, используемые при составлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (по касательной в соответствующей точке кривой). Тогда уравнения звеньев сразу будут получаться линейными. Для упрощения записи значок перед переменными при этом опускается в предположении, что эти переменные представляют собой малые

отклонения от некоторого установившегося состояния и линеаризации уравнений уже проделана.

Применительно к цифровым системам управления описанный выше способ линеаризации может быть применен только к непрерывной их части. Распространить его на цифровую часть (ЦВМ с устройствами ввода и вывода) не представляется возможным.

Сама цифровая управляющая машина может реализовать как линейные, так и нелинейные закона управления. В последнем случае линеаризация не должна осуществляться при исследовании, так как при этом будет потерян весь смысл использования нелинейных законов управления.

Входные и выходные преобразователи (рис. 1.3) имеют статические характеристики ступенчатого (релейного) вида. Для подобных характеристик тангенс угла наклона либо равен нулю, либо стремится к бесконечности. Поэтому для входных и выходных преобразователей ЦВМ используется третий метод линеаризации. Он основан на предположении, обратном тому, которое принимается при линеаризации непрерывных систем. Если принять, что изменения входного сигнала по своей величине значительно больше единицы младшего разряда преобразователя, то можно пренебречь влиянием ступенчатости характеристики и линеаризовать ее, проведя некоторую «среднюю» прямую. Это поясняет рис. 2.3, а, на котором изображена начальная часть статической характеристики входного преобразователя (преобразователя непрерывной величины в код).

По оси абсцисс отложено непрерывное значение задающего воздействия а по оси ординат — его цифровое представление (число) получаемое на выходе входного преобразователя. Это число на рис. 2.3, а дано в десятичной системе счисления. Величина единицы младшего разряда на входе обозначена Эта единица младшего разряда имеет физическую размерность, совпадающую с размерностью задающего воздействия. Естественно, что единица младшего разряда на выходе преобразователя равна безразмерной единице.

В дальнейшем изложении будем предполагать, что протяженность всех горизонтальных площадок статической характеристики (рис. 2.3, а) одинакова и равна единице младшего разряда 6. Это означает, что для характеристики

(кликните для просмотра скана)

справедлива следующая зависимость:

где — целая часть числа, заключенного в квадратные скобки.

Для линеаризованной характеристики, показанной на рис. 2.3, а штриховой линией, коэффициент передачи

Наибольшая ошибка при переходе от нелинейной характеристики к линейной не будет превышать по модулю значения

Преобразователь с характеристикой, изображенной на рис. 2.3, а, может быть представлен в виде совокупности линейных и нелинейных звеньев (рис. 2.4). Звено 1 является линейным с коэффициентом передачи определяемым формулой (2.10). Звено 2 с пилообразной статической характеристикой соответствует нелинейной добавке, которую дает действительная характеристика преобразователя. Наклон каждого «зубца» характеристики равен Звено 3 соответствует ограниченно линейному звену с единичным коэффициентом передачи линейного участка и насыщением, которое будет иметь место во всех реальных преобразователях.

Рис. 2.4. Эквивалентное представление входного преобразователя.

Число отличных от нуля уровней одной ветви рассматриваемой характеристики входного преобразователя

где — число двоичных разрядов преобразователя (без учета знакового разряда), — максимальное значение задающего воздействия.

Линеаризация входного преобразователя означает, по сути дела, что из трех звеньев, изображенных на рис. 2.4, рассматривается только звено 1.

Аналогичные рассуждения можно произвести и для входного преобразователя управляемой величины. Его статическая характеристика изображена на рис. Символом у обозначено непрерывное значение управляемой величины, а символом — ее цифровое представление. Единице младшего разряда на входе преобразователя соответствует величина 62, имеющая физическую размерность управляемой величины.

Крутизна линеаризованной характеристики

Число отличных от нуля уровней характеристики на одной ее ветви, если — число двоичных разрядов преобразователя,

где утах — максимальное значение управляемой величины.

Обычно используют такие преобразователи, Однако это условие может и не выдерживаться, особенно в тех случаях, когда в системе имеется несколько задающих и управляемых величин.

Число разрядов входных преобразователей, как правило, довольно велико и может достигать 10 — 20. Так, например, если необходимо измерять угол поворота какой-либо оси с погрешностью, не превышающей то единица младшего разряда должна быть выбрана из условия Тогда для обеспечения измерения в пределах число разрядов в соответствии с (2.11) должно быть

В тех случаях, когда задачей системы управления является обеспечение равенства принято, что а входные преобразователи для задающего воздействия и управляемой величины могут быть условно объединены в один преобразователь, установленный в канале ошибки . Характеристика такого преобразователя изображена на рис. 2.3, в. По оси абсцисс отложено непрерывное

значение ошибки а по оси ординат — ее цифровое представление Характеристика справедлива для случая, когда где целое число, либо Первый случай обычно вводят в рассмотрение при исследовании свободного движения системы и при исследовании периодических режимов, вызванных квантованием по уровню (см. главу 6).

В общем случае зависимость определяет область расположения характеристик, что изображено на рис. 2.3, г. Характеристика, изображенная на рис. 2.3, в представляет, по сути, некоторую среднюю характеристику этой области, определенную для случая

На рис. 2.3, д изображена статическая характеристика выходного преобразователя. По оси абсцисс отложена выходная величина цифровой вычислительной машины (рис. 1.3) в виде числа а по оси ординат — величина представляющая собой выходную величину преобразователя кода в непрерывную величину совместно с экстраполятором. Обычно выходная величина представляет собой электрическое напряжение или ток. Единица младшего разряда выходной величины преобразователя обозначена а единица младшего разряда входной величины равна безразмерной единице. Их отношение дает крутизну линеаризованной характеристики, т. е.

Если число двоичных разрядов выходного преобразователя а, то общее число отличных от нуля уровней одной ветви статической характеристики

где хтях — максимальное значение выходной величины.

Число разрядов выходного преобразователя обычно бывает меньше, чем число разрядов входного, так как он установлен в канале ошибки, и в пределе может быть равно единице. На рис. 2.5 в качестве примера изображены статические характеристики выходного преобразователя для случая, когда максимальное значение выходной величины преобразователя хтвх одно и то же, но число разрядов .

Для выходного преобразователя может быть получена эквивалентная структурная схема, содержащая три звена, аналогичная изображенной на рис. 2.4.

Приведенные выше формулы (2.11), (2.13) и (2.14) справедливы для симметричных (двухтактных) характеристик. Однако не представляет труда записать их и для случая несимметричных характеристик, когда, например,

Если в цифровой вычислительной машине для установившегося режима получается прямая пропорциональность чисел на входе и выходе, т. е. то машина может рассматриваться как статическое звено с коэффициентом передачи Наиболее вероятное значение

Рис. 2.5. Примеры статических характеристик выходного преобразователя.

Однако возможны случаи, когда .

Общий линеаризованный коэффициент передачи машины совместно с входным и выходным преобразователями будет

Для этого случая на рис. 2.3, е изображена результирующая статическая характеристика ЦВМ совместно с преобразователями при в относительном (цифровом) виде, т. е. где

Цифровая машина может сводиться не к статическому, а к интегрирующему звену. Тогда ее линеаризованный коэффициент передачи будет связывать между собой в

усталовившемся режиме входную величину и среднюю скорость изменения выходной величины (по линейному закону), т. е.

где — безразмерный коэффициент. В этом случае линеаризованный коэффициент передачи ЦВМ совместно с преобразователями

Линеаризованная цифровая система управления может рассматриваться как импульсная. При этом учитывается только явление квантования по времени, а влиянием квантования по уровню пренебрегается. Для исследования подобных систем используется аппарат исследования импульсных систем. Однако подобное исследование может использоваться только в качестве первого приближения. Предполагается, что в дальнейшем явление квантования по уровню и его влияние будут исследованы дополнительно.