Частотные передаточные функции.

Пусть на входе разомкнутой ЦАС простейшего вида с единичной обратной связью (рис. 2.23, а) действует решеточная функция, представляющая собой синусоидальную последовательность

где — соответственно амплитуда и начальная фаза, Г — период повторения, — период синусоидальной последовательности. В отличие от непрерывной гармонической функции, синусоидальная последовательность (2.180) представляет собой в общем случае непериодическую функцию Она представляет собой периодическую функцию тогда и только тогда, когда период повторения Т и период гармонической функции — соизмеримые числа. Кроме того, амплитуда а

обязательно является тем максимальным значением, которого могут достигать те или иные члены последовательности. Амплитуда всегда является лишь верхней границей, но не обязательно максимумом этих членов.

Отметим также, что последовательность (2.180) не изменится, если заменить частоту частотой где — частота работы ключа, целое число. Невозможно различить две частоты, разность между которыми равна целому кратному частоты повторения Так, например, синусоидальная последовательность с частотой состоит из одного постоянного члена, повторяющегося неограниченное число раз, и, следовательно, она неотличима от последовательности с нулевой частотой

Из предыдущего следует, что, меняя частоту синусоидальной последовательности на входе в пределах от 0 до можно охватить весь диапазон возможных частот.

Можно также показать, что достаточно исследовать поведение импульсного фильтра в диапазоне частот так как для интервала частот 0,5 может быть использована дополнительная частота выбранная так, чтобы выполнялось условие . При этом начальная фаза должна быть заменена начальной фазой Это положение аналогично тому, что при исследовании непрерывных систем в интервале частот достаточно охватить только положительные частоты, т. е. интервал

Синусоидальная последовательность (2.180) может быть заменена символической записью последовательности комплексных чисел

где комплексное число. Как и в случае непрерывных систем, символичность записи заключается в том, что на самом деле равно мнимой составляющей правой части (2.181).

Введем обозначение Тогда последовательность (2.181) приобретает вид

В этой формуле z — произвольное комплексное число С модулем, равным единице. Следовательно, каждой

частоте соответствует определенная точка на окружности единичного радиуса, расположенной на комплексной плоскости (рис. 2.25). Двум эквивалентным частотам, т. е. частотам, различающимся на целое кратное частоты повторения, соответствует одна и та же точка на этой окружности. Частоте соответствует точка на вещественной оси а частоте диаметрально противоположная точка Частоте соответствует точка

Рис. 2.25. Комплексная плоскость величины

Когда частота изменяется от 0 до представляющая ее точка совершает один полный оборот против часовой стрелки. Двум симметричным относительно оси вещественных точкам, т. е. двум комплексным сопряженным числам с модулями, равными единице, соответствуют две взаимно дополняющие частоты . Следовательно, совокупность точек, расположенных на одной верхней (или нижней) полуокружности единичного радиуса, достаточна для отображения всего многообразия частот.

Найдем теперь реакцию разомкнутой ЦАС на синусоидальную последовательность (2.180). Будем предполагать при этом, что в разомкнутом состоянии канал управления ЦАС устойчив. Поскольку синусоидальная последовательность на входе ограничена, то и реакция устойчивого канала управления должна представлять собой тоже ограниченную последовательность на выходе

В соответствии с формулой (2.119) выходная величина (решетчатая функция) будет записываться для установившегося режима в символическом виде

Эта формула может быть представлена в следующем символическом виде:

где Здесь введена величина

которая по своему физическому смыслу аналогична частотной передаточной функции непрерывной системы. Как видно из (2.185), для линейного канала ЦАС она зависит только от частоты и является периодической функцией частоты с периодом

Амплитуду и фазу последовательности выходного сигнала (2.184) можно найти обычным приемом по комплексному выражению Отношение амплитуд выходного и входного сигналов равно модулю, а разность их фаз — аргументу этого выражения.

В общем случае, когда , формула (2.184) может быть представлена в виде

где — передаточная функция разомкнутого канала управления (2.163), записанная здесь для общего случая, когда

Таким образом, частотная передаточная функция может быть найдена из дискретной передаточной функции или посредством подстановки в результате чего получим или .

Изложенное можно распространить на иные передаточные функции. Так, например, для замкнутой ЦАС можно получить частотную передаточную функцию связывающую между собой в символическом виде синусоидальную последовательность на входе и последовательность на выходе. Частотная передаточная функция Не связывает между собой в символическом виде синусоидальные последовательности При этом для получения ограниченных

последовательностей требуется, чтобы рассматриваемая ЦАС была устойчива в замкнутом состоянии.

Все рассмотренное выше относится не только к структурной схеме (рис. 2.23, а), которая была взята для иллюстрации, но и к другим возможным схемам.

На основе частотных передаточных функций и Не могут строиться частотные характеристики: амплитудно-фазовые амплитудные частотные фазовые частотные логарифмические функции круговой частоты Однако построение оказывается малоудобным вследствие трансцендентности выражений, содержащих частоту со, и периодичности всех характеристик. Вследствие этого большое распространение получили частотные передаточные функции и частотные характеристики с использованием так называемой псевдочастоты. Переход к псевдочастоте делается на основе -преобразования.

Введем комплексную величину связанную с комплексной величиной z билинейными преобразованиями:

Сделав подстановку получим из (2.188)

где представляет собой так называемую относительную псевдочастоту. Удобно ввести в рассмотрение абсолютную псевдочастоту

При малых частотах и псевдочастота . Поэтому при выполнении условия можно в расчетах заменить псевдочастоту действительной круговой частотой, что может быть использовано, в частности, при расчетах реакции ЦАС на медленно меняющиеся гармонические сигналы на входе.

Нетрудно видеть, что при изменении частоты в пределах псевдочастота пробегает все значения от до а комплексная величина движется по оси мнимых от до Внутренняя часть круга единичного радиуса (рис. 2.25) отображается при этом на левую полуплоскость. Это оказывается удобным при исследовании вопросов устойчивости ЦАС. Таким образом, в результате подстановки (2.187) и последующей замены могут быть получены частотные передаточные функции разомкнутой ЦАС:

замкнутой ЦАС:

и замкнутой ЦАС для ошибки:

Построение частотных характеристик в функции абсолютной псевдочастоты оказывается более удобным и поэтому широко используется.

Пример 2.3. Пусть дискретная передаточная функция разомкнутой ЦАС имеет вид

Получим частотную передаточную функцию при использовании круговой частоты Для этого сделаем подстановку

Модуль передаточной функции —

и аргумент (сдвиг фаз) —

Получим теперь частотную передаточную функцию при использовании обсолютной псевдочастоты:

Модуль передаточной функции —

и аргумент —

Нетрудно видеть, что выражение более удобно для практического использования, чем

Рис. 2.26. Частотные характеристики к примеру 2.8.

В частности, для передаточной функции легко может быть построена асимптотическая л. а. х., так как формула по своему виду совпадает с обычной формой передаточных функций непрерывных систем.

На рис. 2.26 построены для рассмотренного примера амплитудно-фазовая характеристика по круговой частоте со (рис. 2.26 а), амплитудно-фазовая характеристика по псевдочастоте (рис. 2.26, б) и асимптотическая в функции псевдочастоты (рис. 2.26, в).