§ 3.10. Случайные процессы в замкнутых нелинейных системах

Исследование нелинейных замкнутых ЦАС при случайных воздействиях представляет еще более сложную задачу по сравнению со случаем разомкнутых систем и, как правило, должно выполняться на ЭВМ.

Рис. 3.28. Замкнутая нелинейная дискретная система.

Ниже рассматривается приближенный способ теоретического исследования подобных систем для случая, когда нелинейное звено содержится в непрерывной части системы. Этот способ основан на использовании статистической линеаризации, основы которой применительно к цифровым системам были изложены в § 3.9.

Структурная схема цифровой нелинейной системы изображена на рис. 3.28. В непрерывной части имеется нелинейное звено . Передаточные функции линейной непрерывной части — . Передаточная функция экстраполятора обозначена . В схему введены преобразователи непрерывной величины в код с линеаризованным коэффициентом передачи

где — цена единицы младшего разряда, и когда в непрерывную величину с линеаризованным коэффициентом передачи, равным цене единицы младшего разряда выходного преобразователя . На схеме показаны также идеальные импульсные элементы первого рода и второго рода

Примем гипотезу стационарности сигнала ошибки При этом условие стационарности может не выполняться для задающего воздействия и управляемой величины Примером последнего может служить типовой входной сигнал следящей системы с корреляционной функцией входной скорости вида , где — дисперсия скорости. Процесс изменения задающего воздействия при этом характеризуется нестационарностыо, так как его дисперсия с течением времени неограниченно возрастает. Однако если система управления имеет астатизм хотя бы первого порядка, то при ограниченной дисперсии входной скорости дисперсия ошибки воспроизведения задающего воздействия оказывается ограниченной и постоянной в установившемся режиме. Это означает стационарность сигнала ошибки.

Представим искомые величины в виде суммы математического ожидания и центрированного случайного процесса: Задача расчета системы будет решена, если при заданных характеристиках входного сигнала будут найдены величины . Однако для их нахождения попутно должны быть определены зная которые можно произвести статистическую линеаризацию нелинейности и определить значения и

При условии стационарности сигнала ошибки для схемы, изображенной на рис. 3.28, можно записать для математических ожиданий

Здесь использована дискретная передаточная функция

части канала управления

где — дискретная передаточная функция непрерывной части, включающей в себя звено с передаточной функцией и экстраполятор.

Из совокупности уравнений (3.226) — (3.256), в принципе, может быть определена зависимость после исключения неизвестных и

Рис. 3.29. Графики к определению на входе нелинейного звена.

В простейших случаях это может быть сделано аналитически. В более сложных случаях — графическими построениями или расчетом на ЭВМ

Если ввести обозначения

то уравнения могут быть сведены к одному и представлены в виде

Графическое решение последнего уравнения показано на рис. 3.29, а. Пересечение наклонной прямой линии (прямая 1), уравнение которой определяется формулой

(3.269), с исходным семейством характеристик дает отдельные точки зависимости

Если регулярная составляющая с течением времени возрастает по линейному закону, но то, продифференцировав (3.256) по времени, получим для производных

При этом из условия следует, что при должен стремиться к бесконечности.

Из (3.260) можно определить

где — значение постоянной составляющей первой производной задающего воздействия. Если возрастает по квадратичному закону, то из условия следует, что при должен стремиться к бесконечности. Поэтому равенство (3.256) необходимо продифференцировать дважды. В результате можно найти

где соответствует пределу, к которому стремится при значение постоянной составляющей второй производной задающего воздействия.

При известном значении искомая зависимость может быть получена из того же семейства если провести на нем горизонтальную прямую на уровне Это показано на рис. 3.29, а (прямая 2). Пересечение горизонтальной прямой с семейством дает отдельные точки искомой зависимости

Расчет прохождения случайной составляющей делается следующим образом. Спектральная плотность ошибки может быть записана в виде

где — спектральная плотность входного сигнала в функции псевдочастоты. Частотная передаточная

функция для ошибки

зависит также от эквивалентного коэффициента передачи Дисперсия случайной составляющей на входе нелинейного звена может быть определена в соответствии с изложенным в § 3.9:

Частотная передаточная функция части канала управления от его входа до входа нелинейного звена определяется формулами

где — дискретная передаточная функция части канала управления, включающей в себя непрерывное звено с передаточной функцией и экстраполятор.

В уравнение (3.265) входят две неизвестные величины: так как коэффициент . В принципе это уравнение может быть решено и получена зависимость . В простейших случаях эта задача может быть решена аналитически. В более сложных случаях возможно применение графических приемов, а также проведение расчетов на ЭВМ.

Для графического решения задачи целесообразно зависимость построить в функции для фиксированных значений х. Это показано на рис. 3.29, б, где построена подобная зависимость при фиксированных значениях х.

После нахождения интеграла (3.265), что делается известными методами, будет получена зависимость от эквивалентного коэффициента передачи Задаваясь

различными значениями эквивалентного коэффициента передачи, можно нанести эту зависимость на том же графике, что показано на рис. штриховой линией. Для этих построений возможно предварительно произвести нормировку, т. е. перейти от к и от которые затем отложить по осям графика (см., например, рис. 3.23-3.26). Пересечение штриховой линии с исходным семейством кривых дает вторую функциональную зависимость

Далее можно нанести обе полученные зависимости на одном графике. Пересечение этих кривых и даст искомый режим, который характеризуется некоторыми значениями математического ожидания X и среднеквадратичного значения случайной величины на входе нелинейного звена. Знание этих величин позволяет найти и и далее произвести расчет установившейся ошибки по формуле (3.255) и дисперсии случайной составляющей ошибки интегрированием спектральной плотности (3.263) в бесконечных пределах.

В тех случаях, когда на входе ЦАС действует не полезный сигнал а помеха расчет имеет следующие особенности. Вместо формулы (3.263) необходимо использовать спектральную плотность сигнала помехи в канале ошибки

где по-прежнему определяется формулой (3.264), — спектральная плотность помехи. Далее для расчета может быть использована формула (3.265) с заменой на

Для расчета дисперсии ошибки после нахождения вместо интегрирования спектральной плотности (3.263) здесь следует использовать формулу, справедливую для случая расчета при действии на входе помехи:

где частотная передаточная функция замкнутой системы

Все остальные расчеты выполняются аналогично изложенному выше.

При совместном действии независимых полезного сигнала и помехи особенности расчета будут заключаться лишь в нахождении спектральной плотности сигнала в канале ошибки. Эта спектральная плотность определяется обычными способами (§ 3.6 и § 3.7), но вместо передаточной функции должна использоваться передаточная функция

Рис. 3.30. Схема к расчетному примеру.

Пример 3.5. Рассмотрим замкнутую ЦАС, схема которой изображена на рис. 3.30. Объект управления представляет собой звено с передаточной функцией

Этому звену соответствует дискретная передаточная функция

где Передаточная функция ЦВМ

Передаточная функция разомкнутого канала управления с учетом линеаризованных входного и выходного преобразователей

Где общий коэффициент усиления разомкнутого канала. Частотная передаточная функция разомкнутого канала

где постоянные времени

Эффект квантования на входе представлен эквивалентным шумом с дисперсией

где I — число квантующих элементов, причем для рассматриваемой схемы Цена единицы младшего разряда входного преобразователя а выходного — Предполагается, что выполняются условия, при которых отсутствует шум квантования выходного преобразователя. В данном случае эти условия сводятся к требованию, чтобы были целыми числами.

Примем следующие исходные данные: постоянная времени , общий коэффициент усиления разомкнутой системы постоянная времени , период дискретности , коэффициент передачи непрерывной части максимальное значение скорости движения объекта управления при управляющем воздействии

В рассматриваемой системе требуется найти постоянную составляющую ошибки в случае движения с постоянной скоростью а также среднеквадратичное значение случайной составляющей ошибки, вызванной наличием шума квантования во входных преобразователях при их числе и при числе разрядов выходного преобразователя и 4.

Шумы квантования в каждом входном преобразователе имеют равномерный закон распределения в

интервале Композиция из четырех таких распределений имеет распределение, близкое к нормальному, что дает право воспользоваться изложенной выше методикой.

Нелинейное звено образовано ограничением разрядной сетки выходного преобразователя. При числе разрядов выходного преобразователя а параметры нелинейной характеристики (рис. 3.25, а) будут:

Рис. 3.31. Нелинейные характеристики к расчетному примеру.

Условие согласования выхода ЦВМ с объектом управления сводится к тому, чтобы при любом количестве разрядов выходного преобразователя максимальное значение управляющего воздействия, прикладываемого к объекту, было бы неизменным, т. е. Поэтому рассматривая нелинейную характеристику совместно со звеном, имеющим коэффициент передачи 6 (рис. 3.30), можно представить ее так, как показано на рис. 3.31, а. Ширина линейной части вдоль оси абсцисс (от до может варьироваться изменением числа разрядов а. Ширина линейной части вдоль оси ординат оказывается жестко заданной и равной

Если нелинейную характеристику рассматривать совместно со звеном, имеющим коэффициент передачи (рис. 3.30), то ее можно представить так, как это изображено на рис. 3.31, б. Так как общий коэффициент усиления канала должен быть неизменен, то это приводит к неизменности отношения

Поэтому у нелинейной характеристики (рис. 3.31, б) оказываются зафиксированными величины

Варьирование числа разрядов выходного преобразователя здесь возможно только путем изменения цены единицы младшего разряда входного преобразователя. При этом пропорционально должна изменяться цена единицы младшего разряда выходного преобразователя. Предполагается, что в установившемся режиме число единиц младшего разряда на выходе ЦВМ равно числу единиц младшего разряда на входе, т. е. коэффициент передачи ЦВМ считается равным единицы.

Уменьшение цены младшего разряда входных преобразователей как следствие приводит к снижению уровня шума квантования, так как дисперсия шума пропорциональна

Цена единицы младшего разряда оказывается равной: при двух разрядах , при трех разрядах и при четырех разрядах

В соответствии с изложенной выше методикой запишем требуемые для расчета формулы. Передаточная функция части канала от входа до нелинейного звена

Ей соответствует частотная передаточная функция

Установившееся значение

Передаточная функция от выхода нелинейного звена до выхода системы совпадает с передаточной функцией объекта управления. Установившееся значение

Спектральная плотность шума квантования

Для нахождения спектральной плотности ошибки представим общий коэффициент усиления с учетом нелинейного звена в виде

Здесь нормированный коэффициент передачи учитывает нелинейные свойства канала управления. Спектральная плотность сигнала помехи в канале ошибки (3.268)

Спектральная плотность случайной составляющей на входе нелинейного звена

где

Расчет можно начать с определения математического ожидания величины . В соответствии с формулой (3.261)

Далее в соответствии с рис. 3.29, а следует построить зависимость Это сделано на рис. 3.32, где изображено семейство кривых для линейного звена с насыщением и проведена горизонтальная прямая

на уровне (прямая 2). Точки пересечения прямой 2 с исходным семейством кривых дают искомою зависимость или

Рис. 3.32. К расчету первой зависимости

Далее проинтегрируем спектральную плотность по всем частотам, что дает дисперсию

Нормированное значение среднеквадратичной величины

Подстановка численных значений дает

Эта зависимость построена на рис. 3.33 в виде штриховых линий для случаев и 4. На этом же графике нанесено семейство кривых при фиксированных значениях Оно может быть получено перестройкой, например, графика, изображенного на рис. 3.25, г. В данном случае оно было построено следующим образом. Представим эквивалентный коэффициент

передачи линейного звена с насыщением в виде

где в соответствии с формулой (3.251)

Пересечение штриховых линий с исходным семейством кривых дает вторую искомую зависимость или зависимости нанесены на общем графике (рис. 3.34). Они имеют точки пересечения при при при Точка соответствует бесконечному числу разрядов выходного преобразователя

При координаты точки дают: При трех разрядах получаем соответственно: и при четырех разрядах:

По этим данным может быть произведен расчет ошибки ЦАС. Так как коэффициент передачи от входа

Рис. 3.33. К расчету второй зависимости

Рис. 3.34. Определение математического ожидания и дисперсии на входе нелинейного звена.

системы до входа нелинейного звена равен единице, то полученные значения х соответственно равны математическому ожиданию ошибки Таким образом, при двух разрядах при трех и при четырех Эти цифры полезно сравнить с ошибкой при отсутствии влияния нелинейного звена, когда Таким образом, в рассматриваемой системе шум квантования во входных преобразователях увеличивает постоянное значение ошибки при движении с постоянной скоростью тем больше, чем меньше число разрядов в выходном преобр азователе.

Для расчета случайной составляющей необходимо по известным определить эквивалентный коэффициент передачи или коэффициент Это можно сделать, если воспользоваться приведенной выше формулой

Подстановка в эту формулу полученных выше значений дает для двухразрядного преобразователя для трехразрядного и для четырехразрядного

Далее в соответствии с формулой (3.269) имеем для спектральной плотности ошибки при

Интегрирование этой спектральной плотности дает среднеквадратичное значение случайной составляющей ошибки 0,77; 0,36 и 0,18 соответственно для числа разрядов 2, 3 и 4.

Следует заметить, что в рассмотренном примере не учитывалась возможность существования периодических режимов, вызываемых квантованием по уровню (см. главу 6).