Использование z-преобразования.

Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое z-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него. Применительно к z-преобразованию ниже будут

рассмотрены основные свойства и теоремы дискретного преобразования Лапласа.

Под -преобразованием понимается изображение несмещенной или смещенной решетчатых функций, определяемое формулами

В этих формулах введено новое обозначение Из них следует, что -преобразование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только аргументом изображения.

Таким образом, решетчатая функция времени (оригинал) заменяется ее изображением (г-преобразованием). Формулы преобразования (2.42) могут быть записаны в символической форме:

Формулы преобразования (2.43) могут быть записаны и для непрерывной производящей функции в виде

где

Ряды (2.42) сходятся, и изображение решетчатой функции существует, если выполняется условие, сформулированное выше для дискретного преобразования Лапласа: где с — абсцисса абсолютной сходимости.

В таблице 2.1 приведены изображения некоторых решетчатых функций, а также производящих функций времени и их изображений Лапласа. В таблице введена единичная импульсная решетчатая функция

Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как -функция (функция Дирака) в непрерывных системах.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Для всех непрерывных и решетчатых функций, приведенных в таблице 2.1, предполагается, что они тождественно равны нулю при . В некоторых изображениях таблицы 2.1 использованы полиномы которые могут быть представлены в виде определителя

Некоторые частные значения этого полинома

Приведем основные правила и теоремы применительно к -преобразованию. (Эти же правила и теоремы будут справедливыми и для дискретного преобразования Лапласа.) Рассмотрение проведем для несмещенных решетчатых функций, но полученные результаты можно распространить и на случай смещенных функций кроме случаев, оговоренных особо.

1. Свойство линейности. Это свойство заключается в том, что изображение линейной комбинации решетчатых функций равно той же линейной комбинации их изображений. Пусть решетчатая функция определяется выражением

Тогда для ее изображения можно записать

2. Теорема запаздывания и упреждения. Рассмотрим решетчатую функцию сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов . Тогда из (2.42) следует, если обозначить

Здесь — изображение функции Если исходная решетчатая функция равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то формула (2.50) упрощается:

Если сдвиг функции происходит влево (упреждение) и рассматривается функция где — целое положительное число, то, аналогично случаю запаздываний, можно показать, что

Второе слагаемое в правой части (2.52) обращается в нуль, если при

При запаздывании на не целое число периодов приходится вводить смещенную решетчатую функцию. Пусть рассматривается функция где целая, — дробная часть запаздывания. Если смещение удовлетворяет условию при то можно показать, что

Если

При использовании таблицы 2.1 для нахождения изображений следует в этом случае вместо подставить

или в в соответствии с формулами (2.53) и (2.54).

3. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (теорема смещения в области изображений). Умножим решетчатую функцию на экспоненту Тогда из (2.42) следует:

Для смещенной решетчатой функции аналогичная формула имеет вид

4. Теорема об умножении оригинала на степенную функцию. Пусть решетчатой функции соответствует изображение Тогда можно показать, что

Для смещенной решетчатой функции аналогичная зависимость имеет вид

5. Изображение разностей. Для первой прямой разности на основании (2.52)

Если — целое число, то аналогичным образом

причем

Если решетчатая функция равна нулю в первых точках оси времени, т. е. то формула (2.60) упрощается:

Для первой обратной разности можно аналогичным образом найти

Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тождественно равна нулю, то формула (2.62) упрощается:

Для обратной разности при для

Полученные формулы изображений прямых и обратных разностей формально напоминают формулы для нахождения изображений производных непрерывных функций. Формула (2.64) аналогична случаю изображения производной порядка непрерывной функции по начальным условиям слева при их нулевых значениях. Заметим, что при Т —0 (непрерывный случай) множитель в правой части стремится к пределу:

К этому же пределу стремится множитель в (2.61). Это также иллюстрирует сходство формул изображений производных и разностей.

6. Изображение сумм. Рассмотрим вначале неполную сумму (2.26):

Составим первую прямую разность этой суммы

и возьмем -преобразование от правой и левой частей

На основании (2.61) имеем, учитывая, что

Отсюда можно найти изображение неполной суммы

Распространяя эту зависимость на случай -кратного суммирования, можно записать

Для полной суммы (2.27) аналогичным образом можно найти первую обратную разность

и ее изображение из (2.63)

Отсюда изображение полной суммы

Для случая А-кратного суммирования

Из приведенного рассмотрения вытекает справедливость равенства

Таким образом, взятие прямой разности и взятие неполной суммы (или обратной разности и полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору в непрерывных системах, в первом случае играет оператор а во втором случае — оператор . В случае перехода к пределу при обе пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывных функций.

7. Изображения решетчатых функций с измененным периодом следования. Пусть рассматривается решетчатая функция с периодом следования дискрет где Тогда на основании (2.42) можно записать

Из (2.71) следует, что при изменении периода в К раз необходимо в изображении решетчатой функции заменить на и на

Так, например, если рассматривается решетчатая функция то при введении периода в соответствии с таблицей 2.1 изображение будет

где рис. 2.9 построены для этого случая решетчатые функции с исходным периодом следования Т (рис. 2.9, а), растянутым периодом при (рис. 2.9, б) и сжатым периодом при (рис. 2.9, в).

Рис. 2.9. Изменение периода решетчатой функции.

8. Сумма ординат решетчатой функции. Если абсцисса абсолютной сходимости решетчатой функции отрицательна то, положив в имеем

9. Конечное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность решетчатой функции и на основании (2.49) найдем ее изображение

Далее на основании (2.72) найдем сумму ординат

Кроме того, можно записать

Из двух последних выражений следует:

Если провести аналогичное рассмотрение с первой обратной разностью, то можно получить формулу для вычисления конечного значения решетчатой функции в другом виде:

10. Начальное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность

и на основании (2.50) найдем ее изображение

Рассмотрим теперь предел выражения

Тогда из последних двух формул можно найти

Зависимости (2.74) и (2.75) представляют собой аналоги соответствующих выражений для нахождения

конечного и начального значений непрерывной функции по ее изображению Лапласа:

11. Свертка решетчатых функций. Если

то можно показать, что

Эта формула аналогична соответствующему выражению для свертки двух непрерывных функций.

12. Формула обращения. Рассмотрим задачу нахождения решетчатой функции (оригинала) по ее изображению. Эту операцию запишем в символическом виде как обратное z-преобразование:

Заметим, что аргумент изображения обладает свойством

где — произвольное целое число. Вследствие этого изображения представляют собой периодические функции относительно мнимой части аргумента с периодом что дает основание рассматривать изображения только внутри интервала изменения

Удобнее использовать интервал с так как он оказывается аналогичным интервалу частот — , рассматриваемому обычно для непрерывных функций времени. Принятый интервал дает на комплексной плоскости область (рис. 2.10), в которой достаточно рассматривать изображение

Изображение может иметь в этой области особые точки типа полюсов . Полюсы

могут быть или вещественными, или комплексно-сопряженными. В случае достаточно рассматривать один из этих полюсов, соответствующий, например, положительной мнимой части (на верхней границе области).

Рис. 2.10. Область интегрирования.

Рассмотрим выражение (2.42)

Умножим левую и правую его части на где — целое число, и проинтегрируем его вдоль линии (рис. 2.10) в пределах от до где с — произвольная величина, большая, чем абсцисса абсолютной сходимости:

При этом все полюсы будут лежать в рассматриваемой области на комплексной плоскости левее линии интегрирования Это и дает право изменить в (2.79) порядок операций интегрирования и суммирования.

Если

Если

Вследствие этого (2.79) можно представить в виде

Заменяя на получим окончательно формулу обращения

Так как то формула (2.80) может быть представлена в другом виде:

Интегрирование ведется по окружности с центром в начале координат и радиусом где

— полюсы функции

В случае простых полюсов значение интегрального вычета в точке может быть определено из выражения

В случае полюса кратности значение интегрального вычета в точке определяется выражением

Если функция имеет нулевой полюс кратности то для функции при полюс будет иметь кратность . В этом случае значение интегрального вычета в точке будет

Аналогичные формулы обращения имеют место и для смещенной решетчатой функции:

Полученные выражения (2.80), (2.81), (2.85) и (2.86) несколько сложны для практического использования. Поэтому для нахождения решетчатой функции по ее изображению обычно применяются другие методы, которые даны ниже.

13. Формулы разложения. Если изображение представляет собой простейшую табличную форму (см., например, таблицу 2.1), то переход к оригиналу не представляет трудностей. Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробей первой степени. Рассмотрим некоторые употребительные разновидности формулы разложения.

а) Пусть изображение представляет собой отношение двух многочленов:

причем будем предполагать, что степень числителя не выше, чем степень знаменателя, а корни знаменателя простые. Тогда изображение можно представить в виде суммы

где производная по — корни знаменателя. Элементарному слагаемому соответствует оригинал где (см. таблицу 2.1). В таблице 2.1 единственный корень дроби первой степени обозначен

Поэтому оригинал (2.87) можно записать следующим образом:

б) Пусть изображение не имеет нулевого корня числителя, но степень числителя меньше степени знаменателя. Тогда, как следует из (2.75), начальное значение решетчатой функции Числитель и знаменатель можно умножить на Тогда, если корни знаменателя простые, имеем

Множитель перед суммой в (2.89) означает запаздывание на один такт. Следовательно, чтобы получить исходную решетчатую функцию, следует в правой части (2.88) сделать сдвиг на один такт вправо, для чего нужно заменить на . В результате имеем

причем последнее выражение будет справедливым только для

в) Пусть изображение не имеет нулевого корня числителя причем степень равна степени знаменателя Тогда следует понизить степень числителя, поделив его на знаменатель, и представить в виде суммы составляющей нулевого порядка и дробнорационального остатка . В соответствии с (2.42) первая составляющая равна начальному значению решетчатой функции Поэтому

Переход от второй составляющей изображения к оригиналу может быть сделан по формуле (2.90), которая справедлива для

г) Если изображение можно представить в виде некоторой дробно-рациональной функции умноженной

ной на изображение единичной ступенчатой решетчатой функции которое равно т. е.

то можно показать, что формула разложения приобретает вид

Последнее выражение представляет собой аналог известной формулы разложения Хевисайда, полученной им для непрерывных систем.

д) Пусть изображение имеет нулевой полюс кратности и простые остальные полюсы

причем степень числителя меньше степени полинома Тогда на основании (2.84) и (2.90) можно найти оригинал в виде

При равенстве степеней числителя и полинома следует выделить делением на нулевую составляющую и остаток, после чего представить изображение в виде

Здесь — значение оригинала в момент Далее можно воспользоваться формулой (2.92), заменив в ней на

е) Пусть изображение имеет полюс кратности а все остальные полюсы простые:

причем степень числителя меньше степени знаменателя. Тогда в соответствии с (2.83) и (2.90) оригинал будет

Эта формула справедлива для При значение оригинала

Для случая двойного корня формула (2.93) приобретает вид

Так, например, если

то

что совпадает с таблицей 2.1.

В случае, когда степень числителя равна степени знаменателя, следует, аналогично изложенному выше, выделить член нулевого порядка делением числителя на знаменатель и рассматривать далее остаток от деления.

14. Разложение в ряд Лорана. Из основного выражения для нахождения -преобразования (2.42) следует:

Разложив любым способом изображение в ряд Лорана (ряд по убывающим степеням z):

и сравнивая два ряда между собой, можно установить, что

Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое разложение единственно. Наиболее удобным

приемом для дробно-рациональных функций является деление числителя на знаменатель.

Применяя разложение в ряд Лорана, можно вычислить значения оригинала или в дискретных точках без нахождения полюсов изображения

15. Решение разностных уравнений. Пусть имеется разностное уравнение в форме (2.29)

с начальными условиями Найдем -преобразование от его левой и правой частей. В соответствии с формулой (2.52) для случая упреждения на тактов

Аналогичные зависимости могут быть записаны для упреждения на тактов. Поэтому при переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям можно получить

В правой части (2.95), кроме изображения решетчатой функции находятся члены, определяемые начальными условиями. Сумма их обозначения

Из (2.95) можно найти изображение искомой решетчатой функции

где . Далее можно использовать изложенные выше приемы перехода к искомому оригиналу

Для решения рассматриваемого разностного уравнения необходимо, как следует из изложенного, знать начальные условия Последние же зависят от вида действующей в правой части разностного уравнения решетчатой функции.

Более удобны для решения разностные уравнения вида (2.33)

с начальными условиями

Изображение решетчатой функции запаздывающей на тактов, в соответствии с (2.50) будет

Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на тактов.

При переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям могут быть получены выражения, аналогичные (2.95) и (2.96). Переход к искомой решетчатой функции осуществляется в соответствии с изложенными выше приемами.

Особый интерес представляет случай, когда до момента времени искомая решетчатая функция тождественно равна нулю. Это эквивалентно случаю нулевых начальных условий слева (при при решении дифференциальных уравнений для непрерывных функций. Тогда в выражении для изображения (2.96) пропадает член в правой части, определяемый начальными условиями, и оно приобретает вид

Рассмотрим разностное уравнение вида (2.33), записанное в более общем виде:

Если ввести предположение, что решетчатая функция тождественно равна нулю при , кроме того, функция в правой части (2.98) прикладывается в момент времени то переход к изображениям дает

Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде

Здесь введена дискретная передаточная функция которая, как и в случае непрерывных функций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин) при нулевых начальных условиях.

Рис. 2.11. Периодические функции.

Дискретная передаточная функция играет такую же роль в импульсных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция в непрерывных системах. Получение этой функции будет подробно рассмотрено ниже.

16. Периодические решетчатые функции и их изображения. Введем в рассмотрение периодическую решетчатую функцию

где и М — целые числа, причем М представляет собой относительный период (рис. 2.11, о). Первая гармоника имеет относительную угловую частоту Функция (2.101) может быть точно представлена в виде суммы конечного числа гармоник с частотами, кратными

Число гармоник равно целой части Ряд (2.102) может быть представлен в комплексной форме:

где

Для при

Комплексные амплитуды могут находиться из формул:

при

при

и при

Для симметричной периодической функции (рис. 2.11, б), т. е. при выполнении условий формула для комплексной амплитуды принимает вид

Из последнего выражения следует, что при четном т. е. четные гармоники отсутствуют. При нечетном

Если нечетно, то при

Так как здесь присутствуют только нечетные гармоники, то тригонометрический ряд может быть записан в вещественной форме:

где для четных и для нечетных Для нахождения изображения периодической решетчатой функции (2.101) применим теорему сдвига (2.52):

Отсюда следует:

Сумма в правой части (2.107) представляет собой изображение решетчатой функции на интервале .

Для симметричной функции аналогичным образом можно получить

Найдем, например, изображение симметричной периодической решетчатой функции, показанной на рис. 2.11, б,

Симметричная периодическая функция (2.108) всегда является центрированной, и для нее сумма ординат за период

Это не относится к несимметричной периодической функции (2.107), для которой сумма ординат за период может быть отличной от нуля, если эта функция содержит некоторую постоянную составляющую,

Несимметричная периодическая функция может быть центрирована выделением постоянной составляющей. Если (2.107) содержит постоянную составляющую, то уравнение не должно иметь корня Действительно, при наличии такого корня формулу (2.107) можно

упростить:

где

Если же не содержит корня то в изображении периодической функции (2.107) можно выделить постоянную составляющую

Второе слагаемое (2.109) представляет собой центрированный несимметричный периодический процесс. Полином имеет наивысшую степень (М — 2). Коэффициент разложения

Для получения изображения внутри периода центрированной решетчатой функции, изображение которой соответствует второму слагаемому формулы (2.109), последнее следует привести к виду (2.107):

Найдем, например, изображение периодической функции, представляющей собой единичную дискрету, повторяющуюся периодически через каждые М тактов. В соответствии с (2.107) изображение этого периодического процесса будет

Разложим на слагаемые:

Центрированный процесс определяется вторым слагаемым последнего выражения:

По изображению можно найти значения дискрет рассматриваемого центрированного процесса: .

17. Площадь огибающей смещенной решетчатой функции. Площадь огибающей смещенной решетчатой функции, равная интегралу от производящей функции

На основании (2.72) эта площадь

Рассмотрим, например, площадь огибающей функции основании таблицы 2.1 сумма дискрет этой функции

Интегрируя последнее выражение по имеем

18. Сумма квадратов дискрет решетчатой функции. Рассмотрим сумму квадратов дискрет

решетчатой функции и применим к ней формулу обращения (2.80):

Если абсцисса абсолютной сходимости отрицательна, то можно положить Тогда

где — частотное изображение решетчатой функции, получаемое из -преобразования подстановкой Выражение (2.112) представляет собой дискретный аналог формулы Релея [8], записанной для функции времени отличной от нуля при

где — частотное изображение (изображение Фурье) функции времени

Посредством подстановки, которая более подробно будет рассмотрена в § 2.5,

где К — абсолютная псевдочастота, или

формула (2.112) приводится к виду

где — частотное изображение решетчатой функции Выражение (2.113) представляет собой другой вариант дискретного аналога формулы Релея.

Интегрирование выражения (2.113) в бесконечных пределах не представляет труда и может быть сделано с использованием известных таблиц интегралов (см. Приложение).

Найдем, например, сумму квадратов дискрет функции Ее изображение в соответствии с таблицей 2.1

Далее находим

Сумма квадратов дискрет, в соответствии с (2.113) и Приложением,

Если рассматривается смещенная функция то, аналогично изложенному выше,

где представляет собой z-преобразование решетчатой функции при замене частотное изображение в функции псевдочастоты.

19. Площадь квадрата огибающей решетчатой функции. Площадь квадрата огибающей смещенной решетчатой функции равна интегралу от квадрата производящей функции:

где определяется формулой (2.114).