Сглаживающие системы.

В некоторых случаях, кроме задачи воспроизведения полезного сигнала, требуется подавление помех, действующих на входе системы, т. е. осуществление сглаживания входного сигнала.

При действии на входе гармонической помехи с заданными значениями амплитуды и частоты и случайной фазой на выходе системы появится сигнал Отнощение амплитуды помехи на

входе к амплитуде помехи на выходе представляет собой коэффициент сглаживания

где — частотная передаточная функция разомкнутой системы при Обычно коэффициент сглаживания должен значительно превышать единицу. Поэтому можно пользоваться приближенным выражением

Применительно к дискретным системам формула (5.200) должна быть записана в виде

где — псевдочастота, соответствующая круговой частоте помехи на входе. Формула (5.201) позволяет сформулировать требования к высокочастотной части желаемой л. а. х. разомкнутой системы управления. Для получения необходимого коэффициента сглаживания нужно, чтобы высокочастотная часть л. а. х. проходила бы не выше фиксированной точки с координатами и (рис. 5.34). Это позволяет весьма просто связать между собой требуемый коэффициент сглаживания, частоту помехи и частоту среза для того случая, когда фиксированная точка находится в районе асимптоты с единичным наклоном:

при выполнении дополнительного условия где граничная частота определяется в соответствии с рис. 5.33. Однако частота среза определяется положением запретной

Рис. 5.34. Построение контрольной точки по условиям сглаживания гармонической помехи.

области по точности воспроизведения полезного сигнала (рис. 5.5).

Наиболее благоприятным случаем с точки зрения уменьшения частоты среза оказывается изображенный на рис. 5.5, в. Для этого случая в соответствии с формулами § 5.3

Поэтому максимальное значение коэффициента сглаживания из формулы (5.202) составит

В случае действия гармонической помехи результирующая дисперсия ошибки в рассматриваемом случае будет

Условие минимума этого выражения, полученное его дифференцированием:

Минимальная дисперсия ошибки из (5.204)

Если положить, например, то

Однако действие подобной помехи хотя и возможно, но маловероятно. Более важен случай действия на входе системы помехи типа белого шума со спектральной плотностью Помеха на выходе может быть охарактеризована дисперсией

Квадрат коэффициента сглаживания белого шума

где — эквивалентная полоса пропускания.

В таблице 5.6 приведены приближенные значения квадратов коэффициентов сглаживания белого шума для типовых передаточных функций, соответствующих таблице 5.3. В таблице использована эквивалентная сумма постоянных времени определяемая формулой (5.179). При использовании типовых передаточных функций систем с экстраполяторами первого порядка (таблица 5.4) и систем с дискретной коррекцией (таблица 5.5) результаты будут близкими. В этих случаях необходимо пользоваться эквивалентной суммой постоянных времени (5.180) и (5.193) соответственно.

Выражение для квадратов коэффициентов сглаживания позволяет решить задачу минимизации дисперсии ошибки при одновременном действии на входе системы полезного сигнала и помехи типа дискретного белого шума. Рассмотрим методику расчета применительно к передаточной функции системы с астатизмом первого порядка (таблица 5.6).

В соответствии с формулами § 5.3 для постоянных времени, входящих в типовую передаточную функцию, должны выполняться условия

Взяв предельный случай, когда неравенства превращаются в равенства, можно с учетом формулы (5.18) преобразовать квадрат коэффициента сглаживания к виду

Здесь — дисперсия ускорения задающего воздействия, — заданное значение дисперсии ошибки воспроизведения задающего воздействия. Суммарная дисперсия ошибки при

(кликните для просмотра скана)

отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой

Дифференцирование (5.208) по и приравнивание производной нулю дает условие получения минимума суммарной дисперсии ошибки:

Подстановка этого значения в (5.208) дает минимальное значение суммарной дисперсии

Следует иметь в виду, что формула (5.209), вообще говоря, не может служить основанием для выбора периода дискретности из условия получения желаемой суммарной дисперсии ошибки, так как при уменьшении периода дискретности помеха может перестать быть дискретным белым шумом.

Формулы, подобные (5.209), могут быть получены и для других типовых передаточных функций. При действии коррелированной помехи расчеты должны вестись в соответствии с общей методикой, рассмотренной в главе 3.