Решетчатые функции.

Введем понятие решетчатой функции времени или, в сокращенной записи, значения которой определены в дискретные моменты времени где — целое число, период повторения. Операция замены непрерывной функции решетчатой

показана на рис. 2.7 Изображенные на рис. 2.7, б ординаты представляют собой так называемые дискреты исходной непрерывной функции при (рис. 2.7, а). Дискреты могут быть также определены для смещенных моментов времени . Смещение может быть положительной или отрицательной величиной при выполнении условия . Относительное смещение по модулю меньше единицы.

Образование смещенной решетчатой функции или, в сокращенной записи, из непрерывной функции для случая изображено на рис. 2.7, в.

В последующем изложении будем считать, что в решетчатой функции аргумент и параметр В случае необходимости рассмотрения функции с отрицательным параметром дискретное время можно представить в виде . Тогда решетчатая функция может быть записана в виде где

Решетчатая функция не обязательно должна формироваться из некоторой исходной непрерывной. Любая числовая последовательность некоторой величины, определенная в дискретные равноотстоящие моменты времени, может быть представлена в виде решетчатой функции.

Обратная задача — формирование непрерывной функции из решетчатой — не может быть решена однозначно, так как функции, заданной в дискретные моменты времени, может соответствовать бесконечное множество непрерывных функций. Непрерывные функции, совпадающие с заданными дискретами, называются огибающими решетчатой функции.

Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая прямая разность

либо первая обратная разность

Обе эти разности показаны на рис. 2.8. Разности могут быть определены и для смещенных решетчатых функций Однако формулы для здесь и далее оказываются идентичными, вследствие чего в дальнейшем изложении принято

Прямая разность определяется в момент времени по будущему значению решетчатой функции при . Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно. Обратная разность определяется для момента времени по прошлому значению решетчатой функции в момент времени

Аналогом второй производной непрерывной функции для решетчатой функции служат вторые разности: прямая

и обратная

Приведенные выше замечания относительно возможности вычисления прямой и обратной разностей сохраняют свою силу и здесь.

Рис. 2.8. Прямая и обратная разности.

Могут определяться и высшие прямая и обратная разности. Для вычисления разности возможно использование рекуррентных соотношений

или формул общего вида

где биномиальные коэффициенты (число сочетаний)

Обратные разности обладают важной особенностью. Если решетчатая функция определена только для положительных значений аргумента, т. е. при то, как следует из (2.23), в точке разность

для любого целого положительного

Аналогами интеграла непрерывной функции в пределах от 0 до для решетчатой функции являются неполная сумма

и полная сумма

Отличие (2.27) от (2.26) заключается в том, что значение в момент времени также участвует в формировании результата.