Алгоритм фильтра Калмана для непрерывных систем.

Как следует из изложенного выше, в методе оптимальной фильтрации Калмана приняты два предположения. Первое предположение заключается в том, что модель формирования входного сигнала (система-аналог) представляет собой линейную, в общем случае нестационарную динамическую систему, возбуждаемую белым шумом. К этому следует добавить, что структура модели сигнала должна быть известна точно. Если модель точно не известна, то все последующие расчеты могут оказаться несостоятельными.

Второе предположение состоит в том, что наблюдаемый сигнал содержит в качестве аддитивной составляющей

помеху типа белого шума. Принятие гипотезы белого шума не является обязательным. Возможно расширение метода на случай окрашенного (коррелированного) шума, что приводит к некоторому усложнению модели входного сигнала [106].

Алгоритм оптимальной фильтрации Калмана включает в себя следующие составные части:

1) дифференциальное уравнение оптимального фильтра (оптимальной системы автоматического управления), на вход которого поступает наблюдаемый сигнал с выхода системы-аналога и который вырабатывает наилучшую оценку переменных состояния системы-аналога (наилучшее воспроизведение управляемой величины или величин на выходе системы управления);

2) дифференциальное уравнение для ошибок оптимальной линейной оценки (ошибок воспроизведения управляемой величины);

3) выражение для матричного коэффициента усиления оптимального фильтра через корреляционную матрицу ошибок оценки;

4) нелинейное дифференциальное уравнение для корреляционной матрицы ошибок оптимальной линейной оценки (корреляционное уравнение);

5) формулу предсказания при решении задачи упреждения.

Рассмотрим без вывода основные формулы, определяющие алгоритм калмановской фильтрации.

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра, наилучшим образом определяющего оценку записывается в матричной форме следующим образом:

Введем обозначение

Здесь — совокупность выходных величин системы управления (в частном случае одна выходная величина), связанных матрицей линейным образом с совокупностью переменных Тогда дифференциальное

уравнение оптимального фильтра можно привести к виду

Матрицы совпадают с аналогичными матрицами формирующего фильтра. Матрица представляет собой матричный коэффициент усиления оптимального фильтра.

Структурная схема оптимального фильтра, соответствующая дифференциальным уравнениям (4.144) и (4.146), изображена на рис. 4.15. Из рис. 4.15 следует, что оптимальный фильтр содержит модель формирования полезного сигнала, осуществляющую слежение за входным сигналом

Рис. 4.15. Матричная структурная схема непрерывного оптимального фильтра.

Сигнал в общем случае является многомерным, но может быть и одномерным.

Так как все параметры формирующего фильтра предполагаются известными, то процесс расчета оптимального фильтра сводится к определению матричного коэффициента усиления Для случая оптимального предсказания Р. Калман получил следующее равенство:

Этот результат совпадает со случаем использования винеровской фильтрации (см. § 4.3).

Ошибка оценки переменных состояния может быть записана в виде

Подстановка этого выражения в (4.144) дает дифференциальное уравнение, определяющее ошибку оценки:

Матричная структурная схема, соответствующая (4.149), приведена на рис. 4.16. Введем корреляционную матрицу ошибок оценки переменных состояния оптимальной оценки:

Начальное значение этой матрицы представляет собой диагональную матрицу

и предполагается известным. Совокупность начальных значений переменных состояния характеризуется гауссовым распределением и не зависит от

Рис. 4.16. Матричная структурная схема выработки ошибки оценки переменных состояния.

Математическое ожидание для этой совокупности

Матричный коэффициент усиления может быть выражен через корреляционную матрицу ошибок

Здесь — матрица, обратная матрице входящей в (4.135). Корреляционная матрица может быть

найдена в результате решения матричного дифференциального уравнения

Корреляционное (дисперсионное) уравнение (4.154) япляется нелинейным дифференциальным уравнением и представляет собой совокупность уравнений типа Риккати. Подобные уравнения встречаются в вариационном исчислении, и они связаны с дифференциальными уравнениями Гамильтона. Решение корреляционного уравнения можно представить в виде

Здесь предполагается, что заданы начальный момент времени и положительно-определенная матрица Найденное значение позволяет определить оптимальный коэффициент усиления К (0 по формуле (4.153).

Для определения ошибки отработки задающего воздействия введем корреляционную матрицу ошибок (4.145):

Формула (4.156) позволяет по известной матрице определить корреляционную матрицу Таким образом, алгоритм калмановской фильтрации в непрерывном случае образован совокупностью уравнений (4.144), (4.153) и (4.154).

В стационарном случае матрицы не зависят от времени. Корреляционная матрица ошибок при стремится к совокупности постоянных величин. Это значит, что в установившемся состоянии и матрица коэффициентов усиления К (0 также будет совокупностью постоянных величин, т. е. фильтр оказывается стационарным. Его уравнение:

Это уравнение определяет фильтр, совпадающий с фильтром Винера.