Разностные уравнения.

В качестве аналогов дифференциальных уравнений можно рассматривать разностные уравнения (уравнения в конечных разностях). При использовании прямых разностей неоднородные линейные разностные уравнения имеют вид

где — заданная, а — искомая решетчатые функции. При уравнение (2.28) становится однородным разностным уравнением.

При использовании (2.23) разностное уравнение (2.28) можно записать в другом виде:

Коэффициенты этого уравнения определяются из зависимости

где биномиальные коэффициенты

При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет иметь вид

С учетом формулы (2.23) последнее выражение приобретает вид

Коэффициенты последнего уравнения определяются выражениями

Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие вычислять значения при для заданных начальных значений и уравнения вида (2.29) или значения при для заданных начальных значений и уравнения вида (2.33). Такие вычисления легко выполняются на счетных машинах, а также не представляют никаких принципиальных трудностей и при ручном счете (кроме, конечно, затрат времени) даже и в случае, когда коэффициенты разностных уравнений с течением времени изменяются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов — дифференциальных уравнений.

Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом:

где — корни характеристического уравнения

произвольные постоянные. Из (2.36), в частности, вытекает условие того, чтобы свободное движение системы, описываемой разностным уравнением (2.29), было бы затухающим (условие устойчивости):

Для получения возможности исследования решений разностных уравнений в общем виде широко используется дискретное преобразование Лапласа, -преобразование, -преобразование, а также частотные методы.