Стационарные процессы.

В случае стационарности процесса корреляционные функции не будут зависеть от текущего значения времени и будут определяться только временным сдвигом

С учетом эргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назвать среднее по времени от произведения или

В последней формуле среднее по времени определяется выражением

Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины х в последующий момент времени от предшествующего значения в момент

Приведем основные свойства корреляционной функции стационарного процесса применительно к величине

1. Корреляционная функция является четной функцией, т. е. Это вытекает из самого определения корреляционной функции.

2. При корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины:

3. При корреляционная функция дает квадрат среднего значения случайной величины. Докажем это. На основании эргодической гипотезы

При величины и можно считать независимыми. Отсюда, принимая во внимание

формулу (3.4) для независимых случайных величин, получим

4. Значение корреляционной функции при является ее наибольшим значением (рис. 3.4). Докажем это. Рассмотрим очевидное неравенство

Сделаем преобразование

Возьмем среднее по времени от правой и левой частей. В результате получим

Отсюда вытекает доказываемое неравенство:

5. Значение корреляционной функции чаще всего будет тем меньше, чем больше промежуток времени так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями х будет обычно слабее.

Рис. 3.4. Пример корреляционной функции решетчатого случайного стационарного процесса.

Увеличение временного сдвига может происходить при увеличении числа и при увеличении периода дискретности Т.

6. Чем менее инерционен (более подвижен) объект наблюдения и чем больше период дискретности Т, тем быстрее убывают с увеличением числа т. Отсюда следует, что, чем быстрее убывает корреляционная

функция, тем большие частоты будут присутствовать в случайном процессе.

Таким образом, при известной корреляционной функции легко определяются следующие вероятностные характеристики:

а) среднее значение (момент первого порядка)

б) средний квадрат (начальный момент второго порядка)

в) дисперсия (центральный момент второго порядка)

г) среднеквадратичное отклонение

Корреляционную функцию можно найти на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса при наличии достаточно длительной записи (рис. 3.5). Обработка имеющейся осцилограммы производится следующим образом. Весь интервал записи осциллограммы делится на равных частей, длительность которых равна периоду дискретности Т. Затем для различных значений находятся средние значения произведений ординат

Рис. 3.5. Обработка осцмлограммы реализации случайного процесса.

По этим значениям строится график корреляционной функции в зависимости от интервала т. Этот график может быть аппроксимирован затем некоторой функциональной зависимостью.

Корреляционную функцию можно найти по результатам эксперимента также при использовании специальных

приборов — корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее произведение двух ординат осциллограммы, отстоящих друг от друга на расстояние

Если найденная корреляционная функция содержит постоянную составляющую то, выделив ее, можно перейти к корреляционной функции в соответствии с (3.20), т. е.

Можно также ввести в рассмотрение нормированную корреляционную функцию

которая удобна тем, что всегда

Корреляционная функция для неслучайных (регулярных) функций времени тождественно равна нулю. Однако корреляционная функция может вычисляться и для неслучайных функций времени. Рассмотрим несколько примеров.

1. Для постоянной величины (например, для постоянного тока) корреляционная функция

2. Для гармонической функции корреляционная функция

При выполнении условия

Тогда имеем

Появление в корреляционной функции члена вида указывает на наличие в случайном процессе скрытой периодичности, которая может не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса.

3. Периодическая кривая, разлагаемая в ряд Фурье

имеет на основании изложенного выше корреляционную функцию вида

Взаимная корреляционная функция для стационарных процессов определяется одной из следующих формул:

Из определения взаимной корреляционной функции следует:

Аналогичным образом можно показать, что имеет место равенство Кроме того, можно показать, что

Взаимная корреляционная функция характеризует взаимную связь двух случайных процессов между собой

в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени Значение характеризует эту связь в один и тот же момент времени. Примером таких двух взаимосвязанных случайных процессов могут служить две координаты пространственного положения подвижной цели.

Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех справедливо равенство . В связи с этим говорят, что процессы коррелированы или некоррелированы. Это означает наличие или отсутствие между ними статистической связи.

Аналогично предыдущему можно также ввести понятие нормированной взаимной корреляционной функции.