Нерегулярная качка.

Для описания случайных непрерывных процессов типа нерегулярной качки морских судов

(вообще подвижных объектов) часто используется аппроксимация корреляционной функции в виде

где — преобладающая частота, а — коэффициент нерегулярности. При процесс представляет собой так называемую регулярную качку, т. е. гармоническое движение с амплитудой и случайной фазой.

Рис. 3.9. Корреляционная функция и спектральные плотности сигнала типа нерегулярной качки.

Корреляционная функция (3.68) изображена на рис. 3.9, а. Она используется также для аппроксимации реальных корреляционных функций и иных случайных процессов, не связанных с качкой какого-либо подвижного объекта, в тех случаях, когда корреляционная функция носит затухающий колебательный характер. Спектральная плотность такого процесса

где

Недостаток аппроксимации вида (3.68) заключается в том, что дисперсия первой производной рассматриваемой случайной величины . В этом нетрудно убедиться, умножив на квадрат частоты и проинтегрировав полученную спектральную плотность в бесконечных пределах.

Для устранения этого недостатка используется другая форма аппроксимации в виде

Этой корреляционной функции соответствует спектральная плотность (рис. 3.9, б)

где

Интегрирование спектральной плотности которая соответствует производной рассматриваемой величины, в бесконечных пределах дает дисперсию производной

Однако дисперсия второй производной рассматриваемой случайной величины стремится к бесконечности, что указывает на несовершенство и аппроксимации вида (3.70).

Для решетчатого случайного процесса типа нерегулярной качки корреляционная функция может быть получена из (3.68):

Ей соответствует спектральная плотность

где

Обычно имеют место неравенства и спектральная плотность может быть представлена в приближенном виде:

где Формула (3.75) совпадает с (3.69) при замене и умножении на

Для решетчатого случайного процесса типа нерегулярной качки более совершенная форма корреляционной функции может быть получена из (3.70):

Если и , то спектральная плотность для псевдочастот практически совпадает со спектральной плотностью (3.71) при замене (рис. 3.9,6)

Удобная форма аппроксимации спектральной плотности для которой существуют ограниченные по величине производные случайной величины всех порядков, изображена на рис. 3.9, в. Если то спектральная плотность практически совпадает с а псевдочастота

Интегрирование изображенной на рис. 3.9, в спектральной плотности по всем частотам дает дисперсию рассматриваемого сигнала

Корреляционная функция

где

Для производной порядка дисперсия может быть определена из выражения

Для первой производной из (3.80) имеем

Для второй производной

Формулы (3.81) и (3.82) позволяют по заданным значениям определить преобладающую частоту и коэффициент нерегулярности

Корреляционная функция для решетчатого случайного процесса может быть получена из (3.76) подстановкой

Большее приближение к действительности может дать аппроксимация спектральной плотности выражением

при Как и в случае аппроксимации, изображенной на рис. 3.9, в, здесь оказываются ограниченными дисперсии всех производных случайной величины. Однако этой аппроксимации соответствует более сложное по сравнению с (3.79) выражение для корреляционной функции, которое здесь не приводится.