§ 4.3. Основы теории фильтров Винера

Как уже отмечалось, задача построения оптимального фильтра Винера (рис. 4.1) относится к категории вариационных задач в открытой области. Уравнение Винера — Хопфа, определяющее оптимальное значение весовой функции замкнутой системы может быть

представлено в следующей форме:

где корреляционная функция суммарного входного сигнала может быть записана в виде

Взаимная корреляционная функция желаемого выходного сигнала, т. е. задающего воздействия изображение которого определяется изображением полезного входного сигнала и в виде и суммарного входного сигнала здесь принята в виде

В формуле (4.24) использованы корреляционные функции полезного входного сигнала К» помехи и взаимные корреляционные функции полезного сигнала и помехи Этим функциям соответствуют спектральные плотности связанные с ними преобразованиями Фурье.

В формуле (4.25) использованы взаимные корреляционные функции полезного сигнала и желаемого значения управляемой величины а также помехи и желаемого значения управляемой величины . Им соответствуют спектральные плотности На основании рис. 4.1 можно записать следующие равенства:

В частном случае, когда рассматривается задача оптимальной фильтрации, . Тогда

. В задаче предсказания где время предсказания. Тогда

Перейдем к решению уравнения Винера — Хопфа (4.23). Если корреляционная функция соответствовала бы идеальному белому шуму, т. е. выполнялось бы условие где — единичная дельта-функция, то решение (4.23) было бы элементарным:

Корреляционной функции соответствует (см. таблицу 3.1) спектральная плотность

Рис. 4.5. Схема использования отбеливающего фильтра.

Необходимое условие можно выполнить, пропустив смесь через отбеливающий (декоррелирующий) фильтр (рис. 4.5), выбранный так, чтобы для его передаточной функции выполнялось условие

Представим спектральную плотность в виде произведения сопряженных комплексных величин:

Из формул (4.29) и (4.30) может быть найдена передаточная функция отбеливающего фильтра

Полюсы и нули сомножителя полезно выбрать так, чтобы они лежали в верхней полуплоскости

величины (в левой полуплоскости величины ), т. е. положить где индекс «плюс» указывает на такой выбор полюсов и нулей . Тогда получим, что полюсы и нули второго сомножителя будут находиться в нижней полуплоскости (или, соответственно, в правой полуплоскости величины Отбеливающий фильтр с передаточной функцией (4.31) будет при этом наиболее просто реализуемым и он будет соответствовать устойчивому звену.

Пусть, например, спектральная плотность имеет вид

Представим ее в виде произведения комплексно-сопряженных величин:

Отсюда следует, что

Передаточная функция отбеливающего фильтра

Так как мы рассматриваем теперь суммарный сигнал на выходе отбеливающего фильтра вместо смеси то уравнение Винера—Хопфа (4.23) должно быть записано в другом виде (рис. 4.5):

где весовая функция

соответствует оптимальной передаточной функции

Корреляционной функции соответствует спектральная плотность, которая может быть найдена на

основании формулы, определяющей взаимную корреляционную функцию входной и выходной величин динамического звена с известной передаточной функцией:

Для получения оптимальной передаточной функции которая связана с весовой функцией преобразованием Фурье:

следует представить спектральную плотность (4.34), являющуюся преобразованием Фурье соответствующей корреляционной функции

в виде суммы

Здесь первое слагаемое соответствует полюсам спектральной плотности, лежащим в верхней полуплоскости аргумента (или в левой полуплоскости аргумента второе — в нижней полуплоскости аргумента (правой полуплоскости аргумента Первое слагаемое соответствует реализуемой части системы, т. е. процессу для положительного времени (выполнению условия физической реализуемости). Таким образом, частотная передаточная функция физически реализуемого фильтра

Для того чтобы найти оптимальную передаточную функцию системы для схемы, изображенной на рис. 4.1, следует умножить определяемую формулой (4.38) Передаточную функцию на передаточную функцию отбеливающего фильтра (рис. 4.5). В результате имеем искомую частотную передаточную функцию

Функция определяется следующим образом. Если есть отношение двух полиномов по степеням то можно записать

где — некоторый полином. Первая сумма содержит все члены, соответствующие левой половине -плоскости (включая ось а вторая сумма — все члены, соответствующие полюсам в правой половине -плоскости. В этом разложении реализуемая часть определяется суммой

Формулы (4.39) — (4.41) позволяют определить оптимальную частотную передаточную функцию замкнутой системы от которой можно перейти к оптимальной передаточной функции подстановкой