Системы с белым шумом на входе.

Рассмотрим случай действия на входе цифровой системы помехи типа дискретного белого шума со спектральной плотностью

где — дисперсия шума. Аналогично непрерывному случаю примем, что преобразующий оператор Спектральная плотность входной смеси полезного сигнала и помехи

Передаточная функция отбеливающего фильтра определяется из выражения

Оптимальная частотная передаточная функция замкнутой системы

Введем предположение, что спектральная плотность полезного сигнала может быть представлена дробно-рациональной функцией:

Тогда формула (4.102) может быть записана следующим образом:

Знаменатель в фигурных скобках (4.103) может быть представлен в виде

При этом должно выполняться условие

Рассмотрим выражение в фигурных скобках (4.103). Оно может быть представлено в виде

В формуле (4.107) неизвестен и подлежит определению постоянный коэффициент С. На основании формулы разложения на простые дроби для свободного члена можно записать

Здесь возможны два случая. Если степень полинома меньше степени полинома Если степени равны, то коэффициент С должен рассчитываться по формуле (4.108), причем

Теперь можно записать формулу для оптимальной частотной передаточной функции в окончательном виде:

В системах с единичной главной обратной связью можно определить частотную передаточную функцию разомкнутой системы

Из последнего выражения видно, что, аналогично непрерывному случаю, полюсы передаточной функции разомкнутой системы совпадают с полюсами спектральной плотности полезного сигнала лежащими в верхней полуплоскости.

Известный вид частотной передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти дискретную передаточную функцию подстановкой а затем Далее в случае необходимости может быть найдена приведенная весовая функция разомкнутой системы как обратное -преобразование от передаточной функции

В задачах управления каким-либо объектом от ЦВМ при известных его передаточных функциях или может быть найдена требуемая корректирующая программа ЦВМ по требуемой ее передаточной функции или на основании зависимостей

Естественно, что вследствие ограничений, накладываемых на реализуемые программы ЦВМ, точного осуществления оптимального построения системы можно и не достичь. В этих случаях оптимальный фильтр будет реализовываться в ЦАС приближенно. Более подробно — см. § 5.5.

Пример 4.4. Рассмотрим случай оптимального сглаживания по условиям примера 4.1, но в дискретном варианте. Типовой входной сигнал следящей системы характеризуется спектральной плотностью скорости его изменения (3.59):

где дисперсия скорости, а эквивалентная постоянная времени

Помеха представляет собой дискретный белый шум со спектральной плотностью Это могут быть, например, шумы квантования во входном преобразователе.

Для нахождения спектральной плотности входного сигнала можно использовать передаточную функцию какого-либо сумматора, являющегося аналогом интегратора в непрерывном случае. Примем, например, что суммирование осуществляет интегрирование по методу трапеций. Передаточная функция подобного дискретного интегратора [29]

Частотная передаточная функция

Спектральная плотность полезного входного сигнала

Спектральная плотность суммы полезного сигнала и помехи

где

Далее находим функцию

По формуле (4.108) определяем коэффициент

В соответствии с (4.111) частотная передаточная функция разомкнутой оптимальной системы

Здесь общий коэффициент усиления разомкнутой системы

Подстановка дает дискретную передаточную функцию разомкнутой системы

которая должна быть реализована в оптимальной ЦАС.