Системы с астатизмом второго порядка.

Рассмотрение типовых л. а. х. удобно начать с систем, имеющих астатизм второго порядка, хотя эти системы не относятся к числу наиболее распространенных. Астатизм второго порядка определяется обычно наличием двух интегрирующих звеньев в канале управления. Иногда сам объект, например летательный аппарат, ведет себя как интегрирующее звено второго порядка.

Л.а.х. типа 2—1. Простейшая асимптотическая л.а.х, для систем с астатизмом второго порядка изображена на рис. 5.13. Ей соответствует передаточная функция разомкнутой системы

Асимптоты этой л. а. х. имеют отрицательные наклоны — в связи с чем введено обозначение «типа 2—1». Положение л. а. х. относительно отметок частоты на оси абсцисс определяется ее так называемой базовой частотой соответствующей точке пересечения низкочастотной асимптоты с осью нуля децибел. Сдвиг всей л. а. х. параллельно самой себе вдоль оси частот влево или вправо не меняет запаса устойчивости замкнутой системы, но отражается на быстроте протекания переходных процессов (быстродействии) и точности воспроизведения переменных, в частности гармонических входных сигналов.

Рис. 5.13. Л а. х. системы типа 2—1.

Исследование на максимум значения и приравнивание найденного максимума показателю колебательности, дает условие, которое необходимо выполнить, чтобы показатель колебательности не превосходил заданного значения:

Здесь базовая частота частота среза — общий коэффициент усиления разомкнутой системы (добротность по ускорению).

Л. а. х. подобного вида находят ограниченное применение из-за отсутствия в передаточной функции разомкну» той системы постоянных времени, входящих в знаменатель (5.104). Это условие практически может быть выполнено при сравнительно малых значениях которые

встречаются в системах сглаживания низкочастотных помех [7].

Л. а. х. типа 2—1 — 2. Этой л. а. х. соответствует передаточная функция

Л. а. х. этого типа изображена на рис. 5.14. Ей соответствуют наклоны асимптот

Рис. 5.14. Типовой «симметричный» переход оси нуля децибел типа 2—1—2).

Положение всей л. а. х. по-прежнему определяется значением базовой частоты Протяженность участка с наклоном определяется отношением двух постоянных времени:

где — сопрягающие частоты. Под протяженностью участка вдоль оси с логарифмическими отметками частоты здесь понимается отношение частот конечных точек участка (большей и меньшей).

Найдем запас по фазе для передаточной функции (5.106):

Исследование (5.108) на максимум дает

Приравнивание максимального запаса по фазе требуемому максимальному запасу по фазе в соответствии с рис. 5.14, дает связь между протяженностью участка и показателем колебательности при оптимальном выборе параметров, т. е. при совпадении максимумов фазовой характеристики и запретной зоны:

Оптимальный выбор параметров здесь означает, что при заданном значении будет получено минимальное значение показателя колебательности и, наоборот, заданное значение показателя колебательности М получается при минимальной протяженности участка которым свойствен типовой переход от нуля децибел в соответствии с рис. 5.14, будем в дальнейшем называть симметричными типовыми имея в виду симметричное расположение фазовой характеристики относительно запретной зоны.

Из рис. 5.14 находятся оптимальные параметры л. а. х.:

Формулы (5.113) и (5.114) являются точными, несмотря на то что они получены из асимптотической л. а. х. Это можно проверить, вычислив модуль частотной передаточной функции, соответствующей выражению (5.106), и приравняв частоту значению а модуль — значению У С в соответствии с формулой (5.102):

Отсюда, учитывая, что — можно получить формулы (5.113) и (5 114).

Техническая реализация системы тем легче, чем меньше протяженность участка Это связано с тем, что введение подобного участка расширяет эквивалентную полосу пропускания разомкнутой системы и повышает уровень высокочастотных помех (которые практически всегда присутствуют во входном сигнале) в раз. Поэтому с точки зрения оптимальности технического решения необходимо стремиться к тому, чтобы получить желаемый запас устойчивости при минимальном значении что и дают приведенные выше формулы.

Вместо базовой частоты можно принять, что вся л. а. х. фиксируется заданием частоты среза. Тогда, учитывая, что можно получить формулы (5.113) и (5.114) в другом виде:

При равенстве левых частей правым показатель колебательности равен заданному значению М. При неравенстве вводится некоторый дополнительный запас устойчивости и показатель колебательности оказывается меньше заданного значения.

Формула (5.114) также может быть записана в виде неравенства, аналогично (5.116). Однако формулу (5.113) лучше сохранить в виде равенства, так как при фиксированном значении показатель колебательности будет увеличиваться как при снижении, так и при увеличении

Учет малых постоянных времени. При использовании передаточной функции вида (5.106) можно ввести дополнительный запас устойчивости с тем, чтобы иметь в канале управления несколько малых постоянных времени, которые можно не учитывать в дальнейших расчетах. Для этой цели можно несколько уменьшить значение постоянной времени Та, определяемое формулами (5.114) или (5.116), и отодвинуть фазовую характеристику системы от запретной области (рис. 5.15, а).

Обычно достаточно дополнительного запаса по фазе в районе порядка нескольких градусов. Примем, например, что допустимая сумма малых постоянных

времени, которые можно не учитывать в расчете, составляет

при числе малых постоянных времени, равном Тогда граница малых постоянных времени определяется величиной

Если в этом случае некоторая малая постоянная времени дает сопрягающую частоту то ее можно не учитывать при расчете при условии, что число таких постоянных времени не превосходит. 4-5-6.

Рис. 5.15. Л. а. х. систем с астатизмом второго порядка (тип 2—1—2 и тип 2—1—2—3).

При введении дополнительного запаса устойчивости расчетная формула (5.113) сохраняется а формула (5.114) приобретает вид

Л. а. х. типа 2—1 -1-3 -4... В этом случае передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Число множителей типа в знаменателе не ограничено, т. е. может рассматриваться система любого порядка. Л. а. х. изображена на рис. 5.15, б. Наклоны асимптот имеют значения до значения Для получения заданного показателя

колебательности необходимо выполнить условие (5.113) для постоянной времени Сумма всех постоянных времени, входящих в знаменатель (5.120), должна, в соответствии с (5.114) и (5.116), удовлетворять одному из неравенств:

Эти неравенства получаются из (5.114) и (5.116), если в районе максимального запаса по фазе использовать приближенную зависимость для фазового сдвига

При обычно используемых значениях это приближенное равенство выполняется с большой точностью. В л. а. х. подобного типа постоянное запаздывание если оно имеется в канале управления, легко учитывается добавлением его в левую часть неравенств (5.121) или (5.122).