Цифровое дифференцирование непрерывных сигналов.

При реализации комбинированного управления приходится для введения производных прибегать к дифференцированию входного сигнала. Выше были рассмотрены простейшие алгоритмы, не учитывающие факта наличия квантования по уровню, приводящего к появлению шумов квантования, искажающих результат дифференцирования. Ниже рассматриваются более сложные алгоритмы управления, которые могут в значительной степени уменьшить влияние шумов квантования.

Рассмотрение проводится для задающего воздействия однако оно остается справедливым и для управляемой величины

При реализации алгоритмов дифференцирования в непрерывных системах может быть решена задача оптимизации на основе использования фильтров Винера или Калмана. Так, например, в простейшем случае, когда на входе действует помеха типа непрерывного белого шума, может быть получена формула, аналогичная формуле (4.47). Если положить требуемый оператор обработки в виде или где — некоторая постоянная времени, то передаточная функция оптимального фильтра для получения первой производной

Здесь — спектральная плотность входного сигнала, уровень белого шума. Формулы для получения производных более высокого порядка будут иметь аналогичный вид.

В дискретных системах подобным же образом может быть найдена оптимальная передаточная функция для получения первой и более высоких обратных разностей, которые представляют собой аналоги производных непрерывного сигнала. Так, например, в условиях действия помехи типа белого шума, к которой сводится помеха от квантования по уровню, может быть получена формула, аналогичная формуле (4.109). Если исходить из оператора получения первой обратной разности или то оптимальная передаточная функция будет

Здесь где — спектральная плотность входного сигнала, — дисперсия дискретного белого шума. Формулы для получения обратных разностей более высокого порядка будут иметь аналогичный вид.

Однако при дифференцировании на ЦВМ непрерывных сигналов, поступающих на ее вход, задача не решается так просто. Дело в том, что сам требуемый алгоритм

дискретной обработки или нуждается в определении, так как ставится задача отыскания производной входного сигнала, а не какой-либо разности образованной из него решетчатой функции.

Пусть, например, требуется получить на ЦВМ первую производную непрерывного входного сигнала в дискретной форме так, чтобы она наилучшим образом приближалась бы к решетчатой функции, образованной из первой производной входного сигнала, при учете помех, вносимых квантованием по уровню. Если исходить из желаемого непрерывного алгоритма обработки в виде или то при учете зависимости желаемый дискретный алгоритм обработки будет иметь вид

или

Разлагая последнее выражение в ряд, имеем

Однако подобный алгоритм приводит к нереализуемым на ЦВМ программам. Поэтому при отыскании алгоритмов получения как первой, так и более высоких производных следует, прежде всего, исходить из условия получения реализуемых программ. Ниже излагается один из возможных способов.

Для аналитического представления непрерывного сигнала заданного после прохождения входного преобразователя ЦВМ значениями в дискретные моменты где целое число, период работы ЦВМ, можно воспользоваться различными интерполяционными формулами [30]. Так, например, вторая интерполяционная формула Ньютона позволяет построить интерполяционный полином по значениям входного сигнала и его обратных разностей в дискретные моменты времени:

Здесь относительное время, отсчитываемое от точки назад, т. е. число используемых обратных разностей от до Обратные разности определяются по формулам (2.22), в которые входят биномиальные коэффициенты и предыдущие значения входного сигнала в моменты времени :

Количество членов в формуле (5.295) зависит от требуемой точности интерполяции и вида действительной входной функции которая заменяется интерполяционным многочленом. Формула (5.295) может быть использована и для экстраполирования. При этом

Для получения алгоритма дифференцирования запишем разложение исходной входной непрерывной функции в ряд Маклорена относительно точки

Формулу (5.295) сгруппируем по возрастающим степеням аргумента:

Сравнение двух последних формул, а также учет того обстоятельства, что дает формулы для определения на ЦВМ производных в дискретных

точках т. е. при

Количество членов, входящих в круглые скобки (5.297), будет ограниченньм, если входной сигнал может быть представлен конечным числом степенных членов. Однако ряд (5.295) может быть и бесконечным. Это наблюдается, в частности, для сигналов гармонического, в общем случае периодического, вида. Так, например, если то будут существовать обратные разности всех порядков. В этом случае достижение требуемой точности при ограниченном числе учитываемых обратных разностей может быть получено за счет уменьшения периода повторения Т, так как на малом отрезке времени аппроксимация входной величины может быть сделана с необходимой точностью при меньшем числе членов разложения в степенной ряд.

При реализации алгоритмов вычисления производных на ЦВМ удобнее оперировать не с обратными разностями, а со значениями входной функции в дискретные моменты времени , хранящимися в ячейках памяти. Это можно сделать по формулам перехода (5.296) или на основании использования интерполяционного полинома Лагранжа [30], который в данном случае приобретает вид

Аналогично проделанному выше, из (5.298) можно получить формулы для вычисления по значениям входной величины в дискретные моменты времени первой производной:

где — биномиальные коэффициенты, причем если Формула (5.299) удобна для реализации на ЦВМ.

Рассмотрим теперь более подробно методическую ошибку вычисления на ЦВМ первой производной. Пусть имеется случайный стационарный сигнал для которого известна корреляционная функция Будем также считать известными [104] корреляционную функцию его первой производной и взаимную корреляционную функцию сигнала и его первой производной Ошибка определения производной в дискретные моменты времени может быть вычислена как разность между ее действительным значением машинным значением определяемым по формуле (5.299):

Возведем левую и правую части (5.300) в квадрат и определим математическое ожидание, равное среднему квадрату ошибки:

Относительная среднеквадратичная ошибка может быть получена делением ом на среднеквадратичное значение скорости изменения входного сигнала о:

Пусть, например, требуется оценить точность вычисления первой производной сигнала типа нерегулярной качки по первой разности Корреляционные функции:

где — преобладающая частота, — коэффициент нерегулярности, — дисперсия входного сигнала, — дисперсия скорости изменения входного сигнала. В соответствии с формулой (5.299) при получаем Далее находим

Дисперсия ошибки из формулы

Полученная формула (5.303) является точной. При выполнении условий ее можно упростить, разлагая трансцендентные функции в степенные ряды и ограничиваясь членами низших степеней.

Весьма важен случай дифференцирования входного сигнала гармонического вида. К этому случаю могут быть

сведены многие практические задачи. Кроме того, здесь получаются весьма простые и легко обозримые формулы. Пусть рассматривается сигнал вида где амплитуда А и частота заданы, а представляет собой случайную фазу с равномерным законом распределения в интервале от 0 до Для этого сигнала имеем

Если то средний квадрат ошибки дифференцирования можно получить из (5.303) при . В результате имеем

Далее можно определить:

Если то соответствующие формулы имеют вид

Продолжая рассмотрение для можно показать, что для произвольного числа учитываемых обратных разностей в формуле (5.297) методическая погрешность определяется приближенными выражениями

Полученные формулы позволяют выбирать период дискретности Т по заданному значению методической ошибки при известном значении числа учитываемых обратных разностей или определять необходимое значение при заданном значении периода дискретности Т. Так, например, если заданы величины то период дискретности должен удовлетворять условию

В таблице 5.10 в качестве иллюстрации приведены требуемые значения периода дискретности при дифференцировании регулярной качки с частотой рад/с и требуемым значением

Таблица 5.10

Приближенную оценку (5.304) можно распространить на случай сигнала произвольной формы. Пусть непрерывный входной сигнал имеет производных, а в алгоритме дифференцирования используются обратные разности Оценим ошибку от отбрасывания не равной нулю обратной разности Ошибка дифференцирования

В соответствии с формулами (5.295) и (5.296) можно записать

Тогда

Возведя в квадрат левую и правую части последнего выражения и переходя к математическому ожиданию, получаем средний квадрат ошибки дифференцирования:

В последних выражениях среднеквадратичное значение производной входного сигнала, среднеквадратичное значение его первой производной. Подстановка в (5.306) значений справедливых для гармонического входного сигнала, дает формулы (5.304).

Рассмотрим теперь влияние шумов квантования. Квантование по уровню вызывает появление дополнительной ошибки, носящей случайный характер. Статическая характеристика входного преобразователя ЦВМ изображена на рис. 2.3, а. По оси абсцисс отложена непрерывная входная величина а по оси ординат — ее цифровое представление Величина соответствует цене единицы младшего разряда.

В процессе квантования входная величина округляется до ближайшего целого значения выходной величины преобразователя. Максимальная ошибка округления при этом не может превосходить

Обычно принято исходить из равновероятного закона распределения ошибки квантования (см. главу 3). Дисперсия ошибки квантования при этом составляет Кроме того, будем считать, что ошибка квантования может быть представлена в виде дискретного белого шума с корреляционной функцией вида где — единичная импульсная решетчатая функция. Тогда для дискретных моментов времени где — целое число, случайные ошибки квантования можно считать независимыми, что позволяет определить дисперсию результирующей ошибки квантования при вычислении производной суммированием дисперсий ошибок квантования в дискретные моменты времени.

Из формул (5.294), (5.297) и (5.299) можно получить значение суммарной дисперсии ошибки округления на входе ЦВМ:

В таблице 5.11 приведены значения функции и среднеквадратичной шумовой ошибки, отнесенной к величине при различном числе учитываемых обратных

разностей или, что все равно, числе используемых предыдущих тактов.

Таблица 5.11

Так, например, если (см. таблицу 5.10) и угл. мин, то среднеквадратичное значение шумовой ошибки от квантования по уровню на основании таблицы 5.11 составит

При закон распределения соответствует закону Симпсона. При на основании центральной предельной теоремы закон распределения будет тем точнее приближаться к нормальному, чем больше величина т. При максимальное значение ошибки

При приближенно можно положить

При вычислении производной по формуле (5.297) необходимо осуществить операцию умножения на Эта операция заключается в масштабировании сигнала выходного преобразователя. Цена его единицы младшего разряда может быть принята равной Тогда операции округления в выходном преобразователе не будут происходить и вся ошибка от квантования по уровню будет определяться формулой (5.307). Общее число отличных от нуля уровней выходного преобразователя должно быть не менее величины Этому соответствует требуемое число разрядов выходного преобразователя

С целью уменьшения числа разрядов выходного преобразователя возможно укрупнение цены его младшего разряда за счет отбрасывания нескольких младших

разрядов в вычисленном коде первой производной. Если отбрасывается а младших разрядов, то в выходном преобразователе будет Однако это вносит ошибку округления на выходе ЦВМ. Ошибка округления не будет влиять на точность, если выполняется неравенство

которое сводится к неравенству

При невыполнении неравенства (5.309) вопрос об ошибке квантования на выходе ЦВМ должен быть дополнительно исследован.

Рассмотрим теперь возможность оптимизации алгоритма вычисления при дифференцировании гармонического сигнала. Такая постановка задачи возможна вследствие того, что изменение периода дискретности и числа учитываемых обратных разностей по-разному отражается на методической и шумовой ошибках.

Для гармонического входного сигнала задача имеет простое аналитическое решение. Потребуем минимизации результирующей среднеквадратичной ошибки, квадрат которой при дифференцировании сигнала будет

Дифференцирование этого выражения по периоду дискретности и приравнивание производной нулю дает оптимальное значение периода дискретности:

Подстановка найденного значения в (5.310), деление на дисперсию входной скорости и извлечение квадратного корня дает минимальное значение результирующей относительной среднеквадратичной ошибки, которое может быть получено при оптимальном выборе

периода дискретности:

Задаваясь различными значениями можно при заданном значении величины вычислить по формуле (5.312) для каждого значения результате определить минимальное значение при вариации т. Решение этой задачи не представляет особого труда. Для облегчения расчетов в таблице 5.12 приведены значения функции

Таблица 6.12

В практических расчетах больше интереса представляет решение обратной задачи — нахождение требуемого числа разрядов входного преобразователя или, что все равно, отношения при которых обеспечивается получение заданного значения относительной среднеквадратичной погрешности Если считать, что период опроса выбран оптимальным образом, то, положив из (5.292) находим

Значения приведены в таблице 5.12.

Возможна другая постановка вопроса оптимизации, если в качестве критерия оптимальности принять минимум максимальной ошибки вычисления производной. Тогда вместо (5.310) следует рассмотреть формулу для

максимальной ошибки

Стах

В выражении (5.314) принято, что максимальные ошибки складываются, что не противоречит физике явления, так как частоты изменения методической и шумовой ошибок отличаются обычно на несколько порядков. Дифференцируя (5.314) по периоду дискретности и приравнивая производную нулю, можно получить оптимальное значение для этого случая:

Далее, подставляя значение в (5.314) и деля на максимальное значение получим минимальное значение максимальной относительной погрешности:

Для решения обратной задачи — выбора числа разря входного преобразователя при заданном значении — формулу (5.316) можно привести к виду

Для удобства решения задачи минимизации Дэтах или при вариациях величины функции даны в таблице 5.12.

Пример 5.3. Определим потенциальную точность вычисления первой производной на ЦВМ, характеризуемую максимальной ошибкой сигнала вида требуемый алгоритм и период дискретности, если угл. мин. В соответствии с формулой (5.317) минимальное амплитудное значение ошибки

Задаваясь значениями и используя таблицу 5.12, вычислим Результаты представлены в таблице 5.13.

Таблица 5.13

Из таблицы следует, что наивысшая точность достигнута при Тогда При этом в соответствии с формулой (5.315) требуемый период дискретности

Цена единицы младшего разряда выходного преобразователя составит при этом . Так как , то число разрядов выходного преобразователя должно быть при этом не меньше величины

С целью уменьшения числа разрядов в соответствии с формулой (5.309) можно определить Приняв получим цену младшего разряда выходного преобразователя угл. а общее число разрядов при этом должно быть не менее величины

Пример 5.4. Определим требования к входному преобразователю для обеспечения максимальной ошибки дифференцирования, не превышающей 0,1%, для условий предыдущего примера. В соответствии с формулой (5.317) имеем

Задаваясь различными значениями и используя таблицу 5.12, вычисляем требуемые значения для различных т. Результаты расчета сведены в таблицу 5.14.

Таблица 5.14

Из таблицы следует, что в оптимальном случае при цена единицы младшего разряда входного преобразователя должна составлять 2,98 угл. сек.

Перейдем теперь к вопросу получения на ЦВМ второй производной входного сигнала. В соответствии с изложенным выше алгоритм дифференцирования, полученный на использовании второй интерполяционной формулы Ньютона, имеет вид

где — обратные разности от до порядков, Т — период дискретности ЦВМ. Переход к дискретным значениям входной величины в моменты времени может быть сделан или по формулам перехода (5.294), или на основе использования интерполяционной формулы Лагранжа [30]:

где — биномиальные коэффициенты, причем если Формула (5.319) удобна для реализации алгоритма дифференцирования на ЦВМ.

Рассмотрим методическую ошибку дифференцирования. Как и в случае получения производной, если входной сигнал имеет конечное число производных I, то максимальный порядок обратной разности в (5.318) должен быть равен Тогда методическая ошибка, связанная с дискретизацией во времени, будет равна нулю. При появляется методическая ошибка. При дифференцировании, например, сигналов морской качки Поэтому методическая ошибка дифференцирования здесь будет существовать всегда. Представим входной сигнал в виде случайного стационарного процесса, для которого известны корреляционные функции

и

Ошибка определения второй производной может быть найдена как разность между ее действительным значением и машинным вычисляемым по формуле

Возведем левую и правую части (5.320) в квадрат и определим математическое ожидание, равное дисперсии ошибки:

Относительная ошибка может быть найдена делением среднеквадратичного значения на среднеквадратичное значение второй производной входной величины:

Рассмотрим, например, дифференцирование гармонического сигнала со случайной начальной фазой с использованием только второй разности Для этого сигнала . В соответствии с формулами (5.318) и (5.319) алгоритм дифференцирования может быть записан для этого случая в виде

Таким образом, здесь Подставляя известные значения в (5.300), имеем

Полученная формула (5.323) является точной. При условии, что ее можно значительно упростить, разлагая косинус в степенной ряд и ограничиваясь членами низших степеней. В результате имеем

Аналогичным образом для любого значения можно получить приближенную формулу для относительной ошибки дифференцирования:

В формулу (5.325) введена функция значения которой даны в таблице 5.15. Полученная формула позволяет выбрать период дискретности по заданному значению методической ошибки при известном числе

Таблица 5.15

учитываемых обратных разностей. Если задана величина то необходимо выполнить условие

Для иллюстрации в таблице 5.16 приведены требуемые значения периода дискретности при дифференцировании гармонического сигнала с частотой

Таблица 5.16

Приближенную оценку точности (5.325) можно распространить на случайный сигнал произвольного вида, имеющий конечных производных. Произведя действия, аналогичные изложенным выше, можно получить среднеквадратичную ошибку дифференцирования

и относительную среднеквадратичную ошибку дифференцирования

где среднеквадратичное значение производной входного сигнала, Из (5.328) может быть легко получена формула (5.325), если сделать справедливую для гармонического сигнала подстановку

Примем предположение о независимости ошибок квантования, рассматриваемых в различные дискретные моменты времени Тогда из формул (5.318) и (5.319) может быть получено выражение для суммарной дисперсии шумовой ошибки:

где — цена младшего разряда входного преобразователя. В формуле (5.329) введена функция значения которой даны в таблице 5.15.

Таблица 5.17

В таблице 5.17 для иллюстрации приведены значения среднеквадратичной ошибки от квантования по уровню отнесенные к величине при различных значениях числа учитываемых обратных разностей т. Так, если (см. таблицу 5.16) и угл. мин, то среднеквадратичное значение шумовой ошибки на основании таблицы 5.17 составит

Этот пример иллюстрирует сложность проблемы вычисления на ЦВМ второй производной входного сигнала, определяемую возрастанием уровня шумовых помех. Так как даже в простейшем случае, когда закон распределения шумовой ошибки соответствует композиции трех случайных величин с равновероятным законом

распределения, то при использовании более сложных алгоритмов можно приближенно считать, что для шумовой ошибки дифференцирования действует нормальное распределение. На выходе ЦВМ цена единицы младшего преобразователя составит

где а — число младших разрядов, которые отбрасываются в полученном коде второй производной. Если то округления на выходе не производится и цена единицы младшего разряда Если то происходит округление. Дисперсия дополнительной ошибки, которая вносится при этом, будет

Эта ошибка может не учитываться, если выполняется неравенство Последнее сводится к неравенствам

Выражение (5.332) позволяет выбрать допустимое загрубление выходного преобразователя, что снижает его требуемое общее число разрядов.

Как и в случае вычисления первой производной входного сигнала, поставим задачу минимизации среднего квадрата суммарной ошибки

и минимизации амплитуды ошибки

при дифференцировании гармонического сигнала со случайной начальной фазой. Дифференцирование (5.333) и (5.334) по периоду дискретности дает условие получения минимальной среднеквадратичной ошибки

и условие получения минимума амплитуды ошибки

Подстановка в формулу (5.333) дает после деления на средний квадрат второй производной и извлечения квадратного корня минимальное значение относительной среднеквадратичной ошибки

Подстановка в формулу (5.334) дает после деления на максимальное значение искомой второй производной минимальное значение относительной амплитуды ошибки

Для решения обратных задач — определения требований к входному преобразователю при заданных значениях или — формулы (5.337) и (5.338) могут быть решены относительно . В результате имеем условия получения для оптимального случая требуемой точности дифференцирования по относительной среднеквадратичной ошибке

и по относительной максимальной ошибке

Введенные выше функции от числа приведены в таблице 5.15.

Пример 5.5. Определим потенциальную точность, оцениваемую по максимальной ошибке вычисления второй производной угла качки при рад/с и цене младшего разряда входного преобразователя угл. мин.

В соответствии с формулой (5.338) и таблицей 5.15 вычисляем минимальную относительную амплитуду ошибки для различных значений т. Результаты вычислений представлены в таблице 5.18.

Таблица 5.18

Минимальное значение относительной амплитуды ошибки составляет 14,4% при Требуемый оптимальный период дискретности ЦВМ, вычисленный по формуле (5.336), составляет Тот с. Напомним, что при расчете потенциальной точности определения первой производной этого же сигнала было получено значение относительной амплитуды ошибки 1,74% при более простом алгоритме Цена единицы младшего разряда выходного преобразователя составляет здесь при т. е. при отсутствии округления, угл. а потребное число разрядов

Пример 5.6. Определим требования к входному преобразователю ЦВМ при необходимости обеспечить вычисление второй производной рассмотренного в примере 5.5 сигнала с ошибкой

В соответствии с формулой (5.340) и таблицей 5.17 рассчитываем требуемое значение при различных числах т. Результаты расчета сведены в таблицу 5.19.

Таблица 5.19

Из таблицы следует, что оптимальное значение В этом случае требуемая цена единицы младшего разряда достигает максимального значения угл. с. В оптимальном случае период дискретности в соответствии с формулой (5.336) составит с.

Из рассмотренного видно, что получение на ЦВМ второй производной приводит к более сложным алгоритмам и утяжеляет требования к входным преобразователям по сравнению со случаем получения первой производной.