Стационарные системы.

В стационарных системах матрицы А и С не зависят от времени. Это дает возможность определить передаточные функции разомкнутых систем в виде произведения не зависящей от времени части и изменяющегося во времени коэффициента усиления.

Как следует из рис. 4.15 и 4.31, при размыкании главной обратной связи (точнее, связей) и при равенстве нулю помех можно записать следующее матричное равенство:

Здесь — матрица изображений Лапласа произведений коэффициентов усиления на ошибку (рассогласование) размером — единичная матрица размером Отсюда можно найти

Далее, для совокупности выходных величин матричное уравнение имеет вид

Матрица передаточных функций стационарной части системы, соответствующей модели процесса (рис. 4.15), из (4.231)

Эта же матрица передаточных функций относится к помехе на входе системы. Полученная формула позволяет пользоваться при реализации оптимальных фильтров хорошо развитым аппаратом передаточных функций. Так, если известная желаемая передаточная функция стационарной части одномерной системы и известна передаточная функция объекта управления то можно определить передаточную функцию последовательного корректирующего звена

которое требуется ввести в канал управления.

В многомерных системах разница будет заключаться В том, что будет найдена матрица желаемых передаточных

функций разомкнутой системы которые должны быть реализованы введением в каждый канал своих корректирующих звеньев.

В силу ограниченности корректирующих средств не всякая оптимальная передаточная функция может быть точно реализована, что может привести к возможности лишь приближенной реализации оптимальной системы.

В дискретном варианте оптимального фильтра также необходимо ввести блок измерителей (рис. 4.32) с диагональной матрицей коэффициентов передачи и Тогда матрица коэффициентов усиления

Рис. 4.32. Реализуемая схема дискретного оптимального фильтра.

В стационарных фильтрах можно определить передаточные функции. Аналогично непрерывному фильтру можно записать следующее соотношение для изображений в разомкнутой системе:

где — матрица изображений решетчатых функций на входе стационарной части системы, а — единичная матрица размером Из (4.234) может быть определена матрица передаточных функций стационарной части системы

Эта же матрица передаточных функций справедлива для помехи во входном сигнале.

Аналогично непрерывному случаю, если известна желаемая передаточная функция стационарной части одномерной системы и известна передаточная функция

объекта управления то можно определить передаточную функцию ЦВМ (корректирующую программу)

В многомерном случае эта операция должна быть сделана для всех каналов управления.

В силу ограниченности возможностей программирования, так как можно ориентироваться только на практически реализуемые программы, не всякий оптимальный фильтр может быть точно реализован в ЦАС, что приводит к необходимости использования субоптимальных систем.

Пример 4.6. Рассмотрим задачу построения оптимального фильтра, если спектральная плотность полезного сообщения имеет вид (4.187):

что соответствует порядку уравнения формирующего фильтра Спектральная плотность возбуждающего белого шума Спектральная плотность помехи измерения

Примем, что объект управления соответствует апериодическому звену первого порядка с коэффициентом передачи и постоянной времени Формирующий фильтр изображен на рис. 4.21. Его передаточная функция

Из структуры формирующего фильтра следует, что Подставив эти величины в (4.144), получим дифференциальное уравнение для оптимальной оценки

Структурная схема оптимального фильтра, соответствующая уравнению (4.238), изображена на рис. 4.33. Дисперсионное уравнение (4.154) приобретает здесь вид

Коэффициент усиления определяется формулой (4.153) через дисперсию ошибки:

Найдем сначала установившееся решение нелинейного дифференциального уравнения (4.239).

Рис. 4.33. Оптимальный фильтр к примеру 4.6.

Если положить левую его часть равной нулю, то получим два решения, одно из которых будет положительно, что требуется для дисперсии ошибки:

Использование дает установившееся значение коэффициента усиления из (4.240):

Если использовать это значение коэффициента в оптимальном фильтре, изображенном на рис. 4.33, то получим случай, определяемый решением уравнения Винера-Хопфа.

Рис. 4.34. Вычислитель для решения дисперсионного уравнения к примеру 4.6

Решение дисперсионного уравнения (4.154) может быть получено на ЭВМ или численными методами. На рис. 4.34 изображен аналоговый вычислитель, решающий дисперсионное уравнение (4.239) для рассматриваемого примера. Однако уравнение (4.239) имеет и аналитическое решение. Для начального условия

имеем

Здесь использовано обозначение

Нормированные кривые процесса изменения дисперсии ошибки при различных значениях величины приведены на рис. 4.35. Числа, поставленные справа у кривых, показывают разность между дисперсией в момент относительного времени и установившимся значением дисперсии. Передаточная функция стационарной части канала управления в соответствии со схемой на рис. 4.33 и формулой (4.232)

Рис. 4.35. Кривые переходных процессов для дисперсии к примеру 4.6.

Однако реализовать такую передаточную функцию оказывается невозможным. Необходимо преобразовать ее в соответствии с рис. 4.31, чтобы избавиться от множителя в числителе (4.245). Кроме того, следует учесть, что реальный объект имеет другую передаточную функцию. Это требует введения корректирующих средств с передаточной функцией, определяемой формулой (4.243):

Передаточная функция (4.246) может быть реализована посредством введения в канал уравнения пассивного Кривые переходных процессов для дисперсии к примеру 4.6.

звена Полная схема реализуемого оптимального фильтра, т. е. системы автоматического управления, изображена на рис. 4.36. На ней обозначено: ОУ — объект управления, КЗ — корректирующее звено, У — усилитель, ЧЭ - чувствительный элемент.

При переходе к цифровой системе управления в качестве чувствительного элемента будет использоваться преобразователь непрерывной величины в код. Функции усилителя и корректирующего звена будет выполняться ЦВМ совместно с выходным преобразователем кода в непрерывную величину.

Рис. 4.36. Структурная схема оптимальной системы управления к примеру 4.6.

При выполнении условий проделанный расчет сохраняет свою силу. Алгоритм управления должен при этом обеспечивать получение требуемого коэффициента усиления и передаточной функции корректирующего звена (4.246).

Пример 4.7. Рассмотрим задачу построения оптимальной системы управления с ЦВМ, если спектральная плотность полезного сообщения соответствует нестационарному процессу первого порядка (4.221):

где — дисперсия скорости изменения входного сигнала. Передаточная функция формирующего фильтра (4.220)

Объект управления представляет собой интегрирующее звено с передаточной функцией и

дискретной передаточной функцией при использовании экстраполятора нулевого порядка

В качестве помехи измерения рассмотрим шумы квантования во входном преобразователе, представляющие собой белый шум со спектральной плотностью

где — цена единицы младшего разряда во входном преобразователе. Структурная схема оптимального фильтра изображена на рис. 4.37.

Рис. 4.37. Оптимальный фильтр к примеру 4.7.

Для рассматриваемого случая . В соответствии с формулами (4.169) и (4.170) коэффициент усиления определяется здесь выражением

Рекуррентное уравнение (4.171), определяющее корреляционную матрицу, приобретает вид

Установившееся значение корреляционной функции можно найти решением уравнения

Положительный корень этого уравнения соответствует установившейся дисперсии ошибки

Установившееся значение коэффициента усиления из

Однако реализация схемы рис. 4.37 не может быть сделана, так как объект имеет передаточную функцию (4.247), отличающуюся от передаточной функции формирующего фильтра Коррекция от ЦВМ здесь также невозможна, так как требует введения множителя т. е. упреждения на один такт.

Рис. 4.38. Реализуемая субоптимальная система к примеру 4.7.

Примем в качестве приближенной модели процесса формулу (4.247), что будет означать отход от оптимального построения фильтра. Реализуемая структура системы изображена на рис. 4.38. На схеме использованы следующие обозначения: Н — К — входной преобразователь непрерывной величины в код с коэффициентом передачи где — цена младшего разряда, — выходной преобразователь кода в непрерывную величину с коэффициентом передачи, равным цене его младшего разряда исполнительный элемент с коэффициентом передачи — объект управления. Цифровая вычислительная машина должна вырабатывать коэффициент передачи

в соответствии с формулами (4.249) и (4.250).

Оценим дополнительную ошибку, вызванную отходом от оптимального построения системы по установившейся

дисперсии ошибки. Передаточная функция разомкнутой системы при оптимальном построении (рис. 4.37)

Частотная передаточная функция для этого случая

Эти же функции для субоптимальной системы (рис. 4.38):

Дисперсия установившейся ошибки в оптимальной системе

Аналогичный расчет для субоптимальной системы дает

Относительное возрастание установившейся дисперсии в субоптимальной системе

Заметим, что при малых значениях периода дискретности коэффициент усиления в установившемся режиме

определяется приближенным равенством

Поэтому формула (4.261) приобретает вид

При установившиеся дисперсии ошибки в оптимальной и субоптимальной системах совпадают, что отвечает физике явления.