§ 3.9. Прохождение случайного сигнала через нелинейные звенья в разомкнутых системах

Исследование прохождения случайного сигнала через нелинейные звенья в ЦАС сопряжено со значительными трудностями и в большинстве случаев не может быть сделано точными теоретическими методами. Поэтому основным методом исследования подобных систем должно быть моделирование на ЭВМ. Этому вопросу посвящены многочисленные работы [14, 46, 75, 89].

Однако иногда требуется хотя бы ориентировочно оценить влияние нелинейных звеньев при теоретическом анализе системы. В этом случае приобретают значение приближенные методы. Одним из наиболее удобных является метод статистической линеаризации.

При его использовании предполагается, что случайные процессы имеют нормальное распределение. При прохождении такого сигнала через нелинейные звенья нормальность

его будет нарушаться. Однако для приближенной оценки точности системы и здесь можно воспользоваться двумя первыми вероятностными моментами, т. е. математическим ожиданием и дисперсией, что эквивалентно использованию корреляционной теории (или спектральных плотностей).

Рассмотрим случай разомкнутой ЦАС (рис. 3.18), содержащей два импульсных элемента, дискретное корректирующее устройство с передаточной функцией и приведенную линейную часть с передаточной функцией На входе системы действует случайный сигнал

Рис. 3.18. Разомкнутая дискретная система с нелинейным звеном

Сигнал поступает на нелинейное звено выходной сигнал которого характеризуется некоторой нелинейной зависимостью, например

Сущность статистической линеаризации заключается в том, что нелинейное звено заменяется эквивалентным, которое одинаково с исходным нелинейным звеном преобразует два первых вероятностных момента — математическое ожидание и дисперсию. При этом предполагается, что, так же как и в случае гармонической линеаризации, последующие элементы, на которые поступает выходной сигнал нелинейного звена, обладают свойством фильтра и влияние неучитываемых высших вероятностных моментов будет ослаблено. Это и позволяет применить подобный метод для инженерных расчетов.

Пусть входной сигнал представляет собой сумму математического ожидания являющегося регулярной функцией времени, и центрированного случайного стационарного процесса, для которого известны корреляционная функция или спектральная плотность Для дискретных моментов времени корреляционной функции соответствует спектральная плотность в функции псевдочастоты

Передаточная функция линейной части рассматриваемой системы может быть представлена в виде

Передаточная функция приведенной непрерывной части определяется зависимостью

где — смещенная решетчатая функция веса приведенной непрерывной части. Передаточной функции (3.201) соответствует смещенная приведенная весовая функция разомкнутого канала от входа до нелинейного звена

которая представляет собой реакцию этого канала на решетчатую импульсную входную функцию Представим непрерывный сигнал в виде суммы

где X — математическое ожидание (среднее значение), являющееся регулярной функцией времени, а — случайная составляющая с нулевым математическим ожиданием. Регулярная составляющая может быть найдена следующим образом. Пусть решетчатой функции регулярной части входного сигнала соответствует изображение Тогда изображение сигнала на выходе линейной части

Для оригинала имеем

Переход к оригиналу в (3.203) и (3.206) может быть сделан в соответствии с изложенным в § 2.2. Расчет прохождения через линейную часть системы случайной составляющей может быть сделан на основе изложенного в § 3.5 и § 3.6.

Рассмотрим случай стационарности процесса Корреляционная функция, соответствующая решетчатому сигналу предполагается известной и равной

Тогда корреляционная функция процесса

Если в (3.207) положить то будет получена дисперсия рассматриваемого процесса

В устойчивом канале стремятся к некоторым пределам, которые определяют стационарный процесс на выходе. Положив в при имеем

Если в последнем выражении принять то получим установившееся значение дисперсии

Однако приведенные формулы оказываются не всегда удобными для расчета. При рассмотрении только установившихся режимов при входном стационарном процессе удобнее вести расчеты при использовании спектральных плотностей решетчатых процессов рассматриваемых как функции псевдочастоты. Частотная передаточная функция линейной части

Дисперсия выходной величины линейной части для дискретных моментов времени

Дисперсия непрерывной выходной величины

Заметим, что во многих случаях, особенно при относительно малых значениях периода дискретности, можно с большой точностью использовать приближенную зависимость При этом оказывается вообще ненужным рассмотрение передаточной функции и весь расчет может производиться для дискретных моментов времени при передаточной функции Условие применимости этого заключается в том, чтобы в течение периода дискретности выходная величина оставалась бы практически постоянной.

Таким образом, после расчетов прохождения через линейную часть регулярной и случайной составляющих на ее выходе оказываются известными математическое ожидание и дисперсия.

Величину на выходе нелинейного звена представим также в виде суммы регулярной составляющей (математического ожидания) и случайной составляющей:

Здесь введен эквивалентный коэффициент передачи нелинейного звена по случайной составляющей. При этом регулярная составляющая может использоваться непосредственно либо представляться в виде произведения где — эквивалентный коэффициент передачи регулярной составляющей. Для определения последнего коэффициента могут применяться различные методы линеаризации зависимости Статическая линеаризация дает , а динамическая . Последний случай совпадает с обычной линеаризацией, используемой в нелинейных системах и вытекающей из разложения в ряд Тейлора.

Регулярная составляющая может определяться по формуле для математического ожидания. Для однозначной нелинейной функции

где — плотность вероятности.

Для нелинейности более общего вида формула получается в виде

Формула (3.216) может быть, в частности, использована для определения математического ожидания в случае нелинейных петлеобразных характеристик. Так, для характеристики, изображенной на рис. 3.19, для случая симметричной функции распределения можно получить

Эквивалентный коэффициент передачи для случайной составляющей можно определить следующими способами.

Рис. 3.19. Петлевая нелинейная характеристика.

Первый способ предполагает использование среднеквадратичных отклонений Эквивалентный коэффициент передачи находится по их отношению

В случае однозначной нелинейности расчетная формула приобретает вид

В более общем случае, когда а также при наличии петлевых нелинейных характеристик формула (3.219) получается более сложной. Она может быть получена при использовании тех же обобщений, которые были сделаны при нахождении формул (3.216) и (3.217).

Второй способ предполагает определение эквивалентного коэффициента передачи из условия минимума математического ожидания квадрата разности истинного значения и ее заменяющего значения (3.214). Это условие имеет вид

Из него можно получить

где — значение взаимной корреляционной функции переменных их при Если нелинейная зависимость носит однозначный характер, то из (3.221) имеем

Эта формула также может быть обобщена на случай и для петлевых характеристик по образцу формул (3.216) и (3.217).

Рис. 3.20. Кусочно-линейная характеристика.

Второй способ определения эквивалентного коэффициента передачи приводит к более простым формулам. С точки зрения точности расчета оба метода примерно равноценны. В некоторых случаях первый метод дает завышенные значения для оценки корреляционной функции величины а второй — заниженные. Поэтому существует рекомендация [94] использовать для расчета среднее значение двух эквивалентных коэффициентов передачи, определенных двумя способами.