§ 6.3. Точные методы расчета периодических режимов в ЦАС

Периодические режимы в ЦАС имеют сложный характер. В системах с неустойчивым или нейтрально-устойчивым объектом ни один из возможных периодических режимов не оказывается устойчивым. В результате будет наблюдаться непрерывный переход от режима одного типа к режиму другого типа. Это делает всю картину периодических, а точнее, квазипериодических режимов в ЦАС весьма сложной и запутанной. Моделирование всей системы на универсальной ЦВМ или на аналого-цифровом комплексе обычно не может дать полного ответа о характере возможных режимов, так как они во многом определяются медленными движениями системы с нейтрально-устойчивыми или неустойчивыми объектами, вызываемыми различными возмущениями, действующими в реальной системе, приводящими к срыву одного вида колебаний и переходу к другому виду.

Теоретическое рассмотрение вопроса периодических режимов в ЦАС имеет целью установить возможные простейшие режимы, которые могут под действием различных причин переходить друг в друга, давая общую сложную картину движения.

Рассмотрим использование точных методов расчета возможных простейших периодических режимов применительно к схеме на рис. 6.1, ограничиваясь пока случаем учета одного квантующего элемента. Излагаемая методика расчета периодических режимов в ЦАС базируется на следующих особенностях.

1) Исследуемые периодические режимы в ЦАС определены не на континууме частот как это имеет место в непрерывных системах, а на счетном множестве частот где — целое число.

2) Квантование по уровню обусловливает представление симметричных периодических режимов на входе ЦВМ (на выходе входного преобразователя) конечным числом

сигналов различной конфигурации. Это условие оказывается особенно сильным в хорошо спроектированных ЦАС в смысле наличия в них достаточно больших запасов устойчивости, где амплитуда входного сигнала в периодическом режиме обычно не превосходит 1—2 единиц младшего разряда входного преобразователя, что делает число возможных конфигураций сигнала весьма малым.

3) Наличие континуумов амплитуд и начальных фаз входного гармонического сигнала преобразователя Н — К, в пределах которых конфигурация сигнала на его выходе остается неизменной.

Используем материалы § 2. 7. Периодическая решетчатая функция на входе системы имеет изображение

где — изображение решетчатой функции на интервале О — М. Можно рассматривать только центрированную входную функцию, т. е. собственно периодический режим с нулевой постоянной составляющей. Если (6.74) содержит постоянную составляющую, то ее можно выделить. При наличии постоянной составляющей уравнение не должно содержать корня Действительно, если такой корень имеется, то

где Это выражение не содержит в знаменателе множителя , следовательно, не содержит постоянной составляющей.

Если не содержит корня то в имеется постоянная составляющая, которую можно выделить:

Второе слагаемое (6.76) уже не содержит постоянной составляющей, а полином имеет степень

Если периодическая решетчатая функция на входе системы симметрична, то вместо (6.74) можно записать

где — относительный полупериод функции, — изображение функции на интервале Условие симметрии входной функции имеет вид Будем рассматривать прохождение периодической составляющей или через разомкнутый канал управления (рис. 6.1). Изображение выходной величины при использовании (6.74)

здесь — степень астатизма, определяется полюсами лежащими внутри круга единичного радиуса, знаменатель в формуле (6.74). Для нахождения периодической составляющей на выходе канала следует разложить на сумму составляющих:

Последнее слагаемое и есть искомая периодическая составляющая на выходе канала управления.

При использовании входной функции вида (6.77) формулы (6.78) и (6.79) сохраняют свой вид, но

При рассмотрении задачи нахождения центрированного периодического режима на выходе при действии сигнала он может быть получен, если из последнего слагаемого (6.79) выделить постоянную составляющую. Тогда вместо (6.79) имеем

где

При использовании сигнала определяемого формулой (6.77), последнее слагаемое (6.79) соответствует центрированному значению периодического режима на выходе.

Второе слагаемое (6.79) и (6.80) соответствует затухающему процессу, если объект управления устойчив или нейтрально-устойчив. Если объект неустойчив, то второе слагаемое будет иметь внутри отрезков периодического режима определенного вида растущую во времени составляющую. Последняя будет вызывать срыв одного вида режима и переход к другому. Однако, так как замкнутая система в целом предполагается устойчивой, эта составляющая не может вызвать нарастающего ухода от установившегося режима «в среднем», относительно которого рассматривается периодическое движение системы.

Рис. 6.15. Несимметричный периодический режим.

Первое слагаемое (6.79) и (6.80) может дать только постоянное смещение, так как в установившемся режиме «в среднем» не может быть нарастающего во времени слагаемого.

При рассмотрении одного квантующего элемента на входе это постоянное смещение не вызывает никаких дополнительных трудностей. При рассмотрении двух квантующих элементов постоянная составляющая может привести к относительному сдвигу разрядных сеток входного и выходного преобразователей, если интеграл реализуется в ЦВМ.

Как уже отмечалось, в ЦАС, имеющих достаточно большой запас устойчивости, периодические режимы ограничиваются единицей младшего разряда входного преобразователя. Рассмотрим такой режим более подробно. Соответствующая этому режиму решетчатая функция на входе изображена на рис. 6.15. Изображение этой функции при выборе начала отсчета на оси абсцисс

Изображение этой же функции при выборе начала отсчета на прямой

Изображение центрированной функции при выборе начала отсчета на прямой где — среднее значение функции,

Так, например, если на входе действует сигнал, изображенный на рис. 6.16, то для него имеем

Любое из приведенных изображений (6.81) — (6.83) может быть использовано для нахождения изображения выходной величины с последующим выделением из него переменной составляющей

Рис. 6.16. Пример периодического режима.

Рассмотрим теперь общую методику нахождения периодического режима на выходе канала управления при действии на его входе периодической решетчатой функции произвольного вида. Для этого введем единичную решетчатую периодическую функцию несимметричного вида (рис. 6.17, а), изображение которой

где М — произвольное целое число. Изображение центрированного значения этой функции

Введем также единичную периодическую функцию симметричного вида (рис. 6.17, б), изображение которой

где — произвольное целое число. Установившуюся периодическую составляющую реакции дискретной системы на функцию назовем периодической весовой функцией несимметричного вида. Она изображена на рис 6.17, в. Центрированное значение этой функции (после исключения постоянной составляющей) обозначим

Рис. 6.17. К определению периодической весовой функции.

Установившуюся периодическую составляющую реакции дискретной системы на функцию назовем периодической весовой функцией симметричного вида. Она показана на рис. 6.17, г. Центрированное значение этой функции обозначим

Изображение весовой функции назовем периодической передаточной функцией несимметричного вида. Центрированному значению будет соответствовать центрированное значение Можно ввести другое определение передаточной функции — как изображения периодической весовой функции на интервале О — М. Однако это не повлияет на конечные расчетные формулы.

В соответствии с изложенным выше и на основании формулы (6.79) для системы с передаточной функцией

где — значения дискрет периодической передаточной функции на интервале — полином, определяемый полюсами передаточной функции лежащими внутри круга единичного радиуса, — число интегрирующих элементов. Аналогичным образом можно из формулы (6.87) получить центрированное значение передаточной функции

В соответствии с изложенным выше

т. е. второй сомножитель (6.88) имеет корень

Пример 6.2. Найдем периодическую передаточную функцию для фильтра с передаточной функцией

Изображение сигнала на выходе этого фильтра при использовании (6.84) будет

Далее находим

В соответствии с правилами разложения на дроби имеем

Решение этих равенств дает ,

В соответствии с (6.87) и (6.91) имеем

где

Для нахождения центрированного значения определим постоянное смещение на выходе, которое в рассматриваемом случае будет

Далее можно определить

где Пусть, например, и Тогда в соответствии с формулами (6.92) — (6.95) получим: Это дает выражение для периодической передаточной функции несимметричного вида при

Постоянное смещение на входе для формулы Поэтому Центрированное значение периодической передаточной функции несимметричного вида при

Знание периодических передаточных функций несимметричного вида позволяет просто рассчитать периодический режим на выходе линейного фильтра, пользуясь принципом суперпозиции. Пусть задан произвольный входной периодический сигнал, изображение которого

где представляют собой дискреты входного сигнала на интервале . Рассматривая периодически повторяющуюся одиночную дискрету можно найти изображение периодической реакции на выходе как произведение

Аналогичным образом для дискреты имеем

Полная периодическая реакция от всех дискрет входного процесса

При этом следует иметь в виду периодичность входного процесса, т. е. Поэтому, представив

выходной периодический процесс в виде

можно найти его изображение на интервале в результате операции умножения

где

Так, например, в рассмотренном примере 6.2 были найдены дискреты Если на входе действует периодический сигнал, изображение которого на интервале

то на выходе будет существовать периодический сигнал

Формулу умножения (6.103) можно записать в матричном виде:

Введя матрицы-столбцы а также квадратную матрицу размером вид которых ясен из формулы (6.104), можно определить совокупность ординат периодического режима на выходе как результат матричного произведения Квадратная матрица может быть составлена на основании периодической передаточной функции Формула (6.104) представляет, по существу, формулу свертки. Для

рассмотренного примера (6.2) имеем

Поэтому решение может быть записано в виде

Аналогичные зависимости могут быть получены и для центрированного процесса на выходе через передаточную функцию и матричное произведение где — квадратная матрица, образованная из коэффициентов передаточной функции по типу формулы (6.104), — матрица-столбец дискрет центрированного периодического режима на выходе.

В случае симметричного периодического входного режима, когда его изображение

Для нахождения реакции линейного фильтра на подобный сигнал в принципе возможно использование передаточных функций и Однако эта задача проще решается посредством использования периодической передаточной функции симметричного вида, представляющей собой изображение установившейся периодической реакции дискретной системы на единичную функцию изображенную на рис. 6.17, б.

В соответствии с формулой (6.79) для фильтра с передаточной функцией

Центрированное значение этой передаточной функции совпадает с тем, что дает формула (6.106), т. е. Это определяется исключением всех полюсов из изображения выходного сигнала.

Установившуюся периодическую реакцию линейного дискретного фильтра на произвольный симметричный периодический сигнал можно найти по матричному равенству где — матрицы-столбцы входных и выходных величин размером а прямоугольная матрица коэффициентов размером

В частном случае симметричной прямоугольной волны на входе, когда дискреты периодического режима на выходе будут равны сумме коэффициентов соответствующей строчки (6.107), умноженной на величину