§ 4.5. Основы теории фильтров Калмана

Фильтры Калмана находят сейчас применение при решении различных задач оптимальной фильтрации [106, 147]. Эти фильтрыбыли обоснованы также работами Р. Б ьюси [148]. Поэтому они иногда называются фильтрами Калмана — Бьюси.

В отличие от задачи Винера, здесь для задания случайного полезного входного сигнала (задающего воздействия системы управления) используется формирующий фильтр, возбуждаемый белым шумом.

Модель источника полезного сигнала определяется матричным нестационарным дифференциальным уравнением, отражающим динамику системы-аналога, и уравнением наблюдения:

где — матрица-столбец переменных состояния системы, и их — матрица-столбец сигналов белого шума на входе системы-аналога, — матрица-столбец задающих воздействий, — матрица-стол-бец задающих воздействий, искаженных ошибками измерений, т. е. матрица-столбец выходных сигналов системы-аналога, — матрица-столбец ошибок измерений, — матрицы размеров соответственно.

Матрица состояния отражает динамику свободной системы, матрица помех характеризует влияние входного сигнала, а матрица наблюдения — связь переменных состояния с выходным сигналом который поступает далее на вход системы управления. Так как в общем случае элементы матриц А, В и С могут изменяться в функции времени, то уравнения (4.124) характеризуют нестационарную систем налог входных воздействий. Если элементы матриц А, В и С не зависят от времени, то система-аналог становится стационарной. При равенстве нулю система становится свободной.

Входной сигнал представляет многомерный случайный процесс типа белого шума с математическим ожиданием всех компонент, равным нулю.

В начальный момент времени матрица-столбец характеризует начальное состояние системы и соответствует многомерной случайной величине с нормальным распределением. Это означает, что величины соответствуют многомерным нормальным процессам.

Матричная структурная схема, соответствующая уравнениям (4.124), изображена на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Матричная структурная схема непрерывного формирующего фильтра.

Эта схема в части, соответствующей первому уравнению (4.124), и является формирующим фильтром для входного процесса системы управления. Схема содержит интеграторов. Звено показывает связи в системе. Эта матрица имеет вид

Коэффициент есть коэффициент передачи по обратной связи с выхода интегратора на вход интегратора. Подобным же образом могут быть записаны матрицы В и С.

В соответствии с теорией линейных дифференциальных уравнений все их решения могут быть выражены через фундаментальную матрицу являющуюся Переходной матрицей для системы уравнений. Эта матрица оказывается невырожденной, и она удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальными условиями где - единичная матрица размером

В стационарных системах где Тогда уравнение (4.126) легко решается переходом к изображениям Лапласа

откуда изображение фундаментальной матрицы

Далее можно перейти к оригиналу

Для рассмотренного выше примера 4.3 матрицы коэффициентов имели вид

Обратная матрица

Переход к оригиналам дает здесь

где Этот результат совпадает с тем, что было получено в примере 4.3.

В соответствии с (4.124) можно записать уравнение движения свободной системы-аналога:

Тогда решение для

Таким образом, матрица соответствует линейному преобразованию, которое отображает состояние

системы в состояние Поэтому она носит название переходной матрицы. Для переходной матрицы имеет место следующая зависимость:

из которой вытекает равенство

Для первого уравнения (4.124) можно записать решение через переходную матрицу:

Однако подобная запись решения имеет скорее методическое, чем практическое значение ввиду больших трудностей, связанных с использованием формулы (4.131).

Входной сигнал системы-аналога представляет собой многомерный случайный гауссов процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной (ковариационной) матрицей

Здесь — симметричная положительно-определенная матрица размером — единичная дельта-функция. Начальное состояние системы-аналога характеризуется матрицей-столбцом который определяет многомерную случайную величину с гауссовым распределением, имеющую заданное математическое ожидание и корреляционную матрицу

Здесь — симметричная матрица размером Она может быть, в частности, диагональной, элементы которой суть дисперсии компонент матрицы-столбца переменных состояния.

Измерительное устройство, которое используется для получения информации о наблюдаемых величинах системы-аналога, т. е. компонентах матрицы-столбца содержит всегда источник помех (ошибок измерения). Поэтому наблюдаемый сигнал записывается в виде

где соответствует многомерному случайному гауссову процессу с пулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей

Здесь — симметричная положительно-определенная неособенная матрица размером тхт. Предполагается, что переменные и взаимно некоррелированы.

Типовые формирующие фильтры будут рассмотрены более подробно ниже.

Для дискретного случая модель процесса может быть описана разностным уравнением. В качестве переменных состояния могут приниматься значения некоторой решетчатой функции т. е. дискреты, для моментов времени. Эти дискреты будут компонентами матрицы-столбца переменных состояния. В рассматриваемом случае матрицу-столбец можно отождествить с некоторым вектором.

Линейная нестационарная дискретная модель процесса для входных воздействий может быть, по аналогии с (4.124), записана в виде матричного (векторного) уравнения:

Здесь — матрица-столбец (вектор), содержащая компонент, и — матрица-столбец (вектор) сигналов на входе системы с компонентами, — матрица-столбец (вектор) задающих воздействий, — матрица-столбец (вектор) наблюдаемых величин, содержащая компонент, —матрица перехода состояний размером — матрица входных сигналов размером . В отличие от непрерывного случая здесь отсутствуют помехи измерения.

Матричная структурная схема модели процесса для дискретных входных величин в общем случае наличия помех измерения изображена на рис. 4.14. Вместо интеграторов (рис. 4.2) зцесь использованы линий задержки, а элементы квадратной матрицы

соответствуют коэффициентам передачи с выхода линии задержки на период дискретности Т на вход линии задержки.

Входной сигнал представляет собой многомерную случайную гауссову решетчатую последовательность типа дискретного белого шума с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей

где — симметричная положительно-определенная матрица размером — единичная импульсная функция.

Рис. 4.14. Матричная структурная схема дискретного формирующего фильтра.

В более поздних работах Р. Калмана рассматривается наличие помех измерения. В этом случае вместо (4.136) будем иметь

где ошибка измерения выходного сигнала представляет собой многомерную случайную величину типа дискретного белого шума с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей

где — симметричная положительно-определенная матрица размером

В отличие от сформулированной выше задачи, здесь предполагается отыскание оптимальной оценки в момент времени по результатам предыдущих измерений,

включая и момент времени но при наличии помех измерения. В начальный момент состояние системы характеризуется матрицей-столбцом с гауссовым распределением и заданными математическим ожиданием и корреляционной матрицей (4.133). Как и ранее, здесь предполагается отсутствие корреляционной связи между Матрица является переходной для разностных уравнений (4.136) и (4.139). Она определяет переход из состояния, соответствующего времени в состояние, соответствующее времени . Поэтому превращается в единичную матрицу Е размером

Уравнения (4.136) могут быть записаны также в другой форме, если ввести матрицу определяющую переход системы из состояния в момент времени в состояние, соответствующее времени Тогда вместо (4.139) будем иметь

где Следует заметить, что дискретная модель процесса (рис. 4.14) соответствует непрерывной динамической системе, в которой все переменные рассматриваются только в дискретные моменты времени Поэтому переходная матрица может быть определена из дифференциального уравнения непрерывной системы

при начальном условии для и при для

Задачей калмановской оптимальной фильтрации является нахождение наилучшей оценки переменных состояния системы-аналога, описываемой уравнениями (4.124), на основании измерения наблюдаемого сигнала на интервале Динамическая система, определяющая оценку называется фильтром. Выходным сигналом фильтра и будет оценка

Разность между требуемым и действительным значениями переменных состояния представляет матрицу-столбец ошибок оценки

Здесь принимается условие (4.9) несмещенности оценки которое может быть записано также в виде

При этом оценка должна минимизировать функционал качества (4.11), представляющий собой квадратичную форму. Матрица Г размером определяет весовые коэффициенты и является любой положительно-определенной матрицей.

Матрица-столбец ошибок (4.141) может быть записана в иной форме:

которая означает, что рассматриваемая оценка в некоторый момент времени по данным наблюдений на интервале

Минимизация функционала качества (4.11) означает, что оценка полезного сигнала удовлетворяет условию минимума дисперсии для каждой компоненты матрицы-столбца ошибки (4.143).

При получается задача сглаживания, при — задача фильтрации и при — задача оптимального упреждения (прогнозирования).