Использование фильтров Калмана.

Эти фильтры в литературе также называются фильтрами Калмана — Бьюси [106, 147, 148]. В отличие от задачи Винера, для задания случайного входного полезного сигнала (задающего воздействия) здесь используется формирующий фильтр (рис. 4.2), представляющий собой некоторую динамическую систему, описываемую линейными дифференциальными уравнениями в общем случае с переменными коэффициентами и возбуждаемую многомерным белым шумом и с гауссовским распределением.

Рис. 4.2. Оптимальный фильтр Калмана.

На рис. 4.2 это показано для непрерывного случая.

Формирующий фильтр, возбуждаемый белым шумом, представляет собой модель входного процесса системы управления (систему-аналог). Состояние этой модели в каждый момент времени определяется совокупностью переменных состояния число которых обусловливается видом входного сигнала, т. е. его корреляционной функцией или спектральной плотностью. Определение состояния системы-аналога производится измерительным устройством которое на своем выходе дает совокупность входных сигналов системы управления т. е. многомерный входной сигнал, искаженный аддитивной помехой представляющей собой многомерный белый шум с гауссовым распределением. В дискретном варианте задачи Р. Калмана входные и выходные величины формирующего фильтра рассматриваются в дискретные моменты времени где — целое число, период дискретности. В этом случае

модель входного сигнала описывается системой линейных разностных уравнений.

Требуется построить динамическую систему — фильтр Калмана которая дает наилучшую оценку многомерной величины в виде совокупности выходных величин фильтра Далее из этой совокупности могут формироваться линейным образом выходные величины систем управления .

К оценке предъявляется требование несмещенности, т. е. ее математическое ожидание

Выражение (4.9) записывается также в другом виде. При заданных измерениях величины от момента до момента I оценка в некоторый момент времени должна обладать свойством

Кроме того, накладывается условие минимума дисперсии ошибки оценки, которое записывается в виде

где Г — любая положительно-определенная матрица. Матричное произведение представляет собой квадратичную форму с весовой матрицей Г. Выражение (4.11) означает, что оценка величины удовлетворяет условию минимума дисперсии ошибки каждой из составляющих совокупности величин

При использовании фильтров Калмана возможны следующие случаи.

1. Для непрерывных систем решается задача оптимальной фильтрации, т. е. задача выделения полезного сигнала из аддитивной смеси полезного сигнала и помехи. В этом случае фильтр Калмана дает оценку совокупности переменных начиная с некоторого момента времени в виде первоначального грубого приближения которое тем точнее, чем больше имеется априорных сведений о совокупности Далее с течением времени эта оценка улучшается и постоянно приближается к теоретически достижимому

значению, которое уже не зависит от априорных сведений о значении а определяется свойствами формирующего фильтра и помехами измерительного устройства.

В установившемся состоянии фильтр Калмана совпадает с фильтром Винера и дает то же значение оценки.

2. В дискретных системах возможна постановка задачи оптимального определения оценки для времени по данным измерений входного сигнала в временных точках от до , т. е. задачи оптимального предсказания на один (или несколько) такт вперед. Эта задача имеет смысл и в случае равенства нулю помех измерительного устройства.

3. В дискретных системах возможна также постановка задачи оптимальной фильтрации, т. е. задачи определения оценки по данным предыдущих измерений, включая и момент времени Эта задача может быть решена в случае наличия конфликтной ситуации, даваемой помехами измерений.

Применительно к цифровым системам автоматического управления и регулирования необходимо отметить следующее. В цифровой системе управления, как правило, измерение входного сигнала в момент времени не дает возможности откорректировать ее выходную величину в этот же момент времени, так как реакция непрерывной части системы (ее приведенная весовая функция) на входной сигнал в этот же момент времени равна нулю и она не может быть не равной нулю. Поэтому выходная величина системы в момент времени может быть определена только в результате прогнозирования по результатам предыдущих измерений.

Указанная выше вторая задача, решаемая фильтрами Калмана, имеет очевидное практическое значение для цифровых автоматических систем. Однако следует заметить, что во многих случаях период дискретности цифровой системы управления приходится выбирать по различным соображениям (устойчивости, возможности потери входной информации и др.) сравнительно малым (тысячные и сотые доли секунды). Сама же непрерывная часть системы управления может содержать экстраполяторы, хорошо прогнозирующие требуемый выходной процесс. Такими экстраполяторами могут быть интеграторы различного вида и сами объекты управления. Поэтому задача оптимального прогнозирования на

такт вперед в некоторых случаях теряет свой смысл и может привести к неправильным решениям конкретной технической задачи. Однако прогнозирование на несколько тактов вперед обычно не теряет своего смысла и при малых периодах дискретности. Но в этом случае оно практически совпадает со случаем прогнозирования в непрерывных системах.

Третья задача, решаемая фильтром Калмана, имеет большие возможности, так как предполагает нахождение оптимального решения задачи построения системы управления при одновременном действии полезного сигнала и помехи. Ограничения в использовании фильтров Калмана для построения цифровых систем управления определяются следующими обстоятельствами.

1. Построение фильтра Калмана предполагает полные априорные сведения о структуре формирующего фильтра, т. е. полные априорные сведения о статистических свойствах входного сигнала и полные сведения о действующих помехах. Если эти сведения малодостоверны, то оптимизация теряет здесь смысл либо следует идти по пути значительного усложнения системы за счет использования принципов адаптации.

2. Использование фильтров Калмана предполагает отсутствие ограничений на структуру оптимальной системы. Поэтому переход от требуемой теоретической структуры к реальной структуре системы управления, содержащей те или иные заданные элементы, может значительно ухудшить результаты. Эти ограничения обычно не сказываются в тех случаях, когда вся система выработки оценки многомерной величины строится, например, на ЦВМ и не включает в себя заданных заранее элементов системы управления.

3. При построении фильтра Калмана предполагается, как это будет показано ниже, что для обработки может быть использовано предыдущих значений входных сигналов, где — порядок разностного уравнения, описывающего формирующий фильтр (рис. 4.2). В реальных условиях работы цифровой системы управления можно использовать для обработки большее число предыдущих входных сигналов, что позволяет существенно снизить влияние помех измерения входных сигналов и получить результаты, лучшие по сравнению с фильтром Калмана.

Использование реальных фильтров. В некоторых случаях построения систем управления входной сигнал задан своими

характеристиками, но помехи отсутствуют или они сравнительно малы, в результате чего построение оптимальной системы в смысле Винера или Калмана теряет смысл. Это не означает, однако, что реальная система управления может быть построена со сколь угодно малой дисперсией ошибки. В идеализированном случае винеровского или калмановского фильтра на проектируемую систему не накладывается никаких предварительных ограничений. Увеличение общего коэффициента с целью повышения точности воспроизведения полезного сигнала здесь ограничивается возрастанием ошибки за счет увеличения пропускания помех, действующих на входе. Это и создает конфликтную ситуацию.

В реальных системах помехи во входном сигнале могут и отсутствовать, но увеличение общего коэффициента усиления в этом случае ограничивается приближением к колебательной границе устойчивости, которое вызывает рост ошибки за счет увеличения колебательности системы. Максимальные достижимые коэффициенты усиления в этом случае будут определяться наличием в реальной системе некоторой совокупности звеньев с малыми постоянными времени, влияние которых уже не может быть скомпенсировано.

В этом смысле налнчие совокупности звеньев, характеризуемое суммой их постоянных времени или результирующим временным запаздыванием, эквивалентно по конечному результату действию на входе некоторой помехи. И в том и в другом случаях максимальная точность системы оказывается ограниченной, а дисперсия ошибки не может быть сделана меньше некоторого предельного значения.

Оценка минимальной суммы постоянных времени или суммарного временного запаздывания в проектируемой системе может быть сделана достаточно опытным конструктором при выборе ее элементов. При этом, конечно, конструктор может влиять на эту сумму в сторону ее уменьшения. Однако это может быть связано с переходом к более совершенным и дорогим элементам. Поэтому эта сумма может быть всегда оценена для данной конкретной ситуации и она зависит от уровня развития используемой техники.

Учет влияния малых постоянных времени накладывает на проектируемую систему некоторые ограничения, которых обычно нет при решении задачи оптимального синтеза. Эти ограничения в принципе могут быть учтены в виде

некоторого эквивалентного шума. Поясним это простейшим примером. Пусть полезный сигнал на входе имеет спектральную плотность для производной в виде

где — дисперсия первой производной, а — некоторая постоянная времени, и спектральную плотность помехи на входе соответствующую белому шуму. Пусть отыскивается оптимальное значение общего коэффициента усиления системы, имеющей передаточную функцию в разомкнутом состоянии вида

При отсутствии взаимной корреляции между полезным сигналом и помехой дисперсия ошибки

Дифференцирование (4.14) по коэффициенту усиления и приравнивание производной нулю дает условие минимума дисперсии ошибки

Подстановка (4.15) в (4.14) дает минимальное значение дисперсии ошибки, соответствующее оптимальному значению общего коэффициента усиления:

Пусть теперь решается задача оптимального выбора коэффициента усиления при том же полезном входном сигнале и при отсутствии помехи, но при условии, что передаточная функция разомкнутой системы может иметь вид

где — суммарное временное запаздывание, которое не может быть устранено в системе управления при выбранных

элементах. Такое суммарное временное запаздывание может быть введено, например, при наличии нескольких апериодических звеньев с малыми постоянными времени. Дисперсия ошибки в этом случае

Интеграл (4.18) не берется элементарным образом. Приближенное его вычисление дает

Минимум дисперсии ошибки будет при выполнении условия

Подстановка этого значения коэффициента усиления в (4.19) дает минимальную дисперсию ошибки

Приравнивание (4.16) и (4.21) позволяет определить уровень эквивалентного белого шума

который по своему действию приводит к такому же эффекту, как и влияние неустраняемого временного запаздывания.

Возможны, конечно, более сложные ситуации, когда, кроме наличия в системе некоторых малых параметров, на входе системы действуют реальные помехи. И в этом случае в принципе можно найти эквивалентную помеху, учитывающую наличие двух этих факторов. Однако подобный путь приводит к значительному усложнению расчетов. Поэтому эквивалентность малых постоянных времени по своему конечному действию входному шуму в системе управления имеет лишь некоторый познавательный интерес. Сама же задача синтеза системы управления в этом случае может более просто решаться на основе разработанных в настоящее время инженерных методов, предполагающих

использование типовых передаточных функций, типовых переходных характеристик, типовых логарифмических частотных характеристик и т. п.

Таким образом, при построении реальных фильтров, представляющих собой системы автоматического управления, работающие как при наличии помех на входе, так и при их отсутствии, структура их должна соответствовать изображенной на рис. 4.3. На вход системы поступает аддитивная смесь полезного сигнала и и помехи либо только полезный сигнал. Полезный сигнал может быть регулярной функцией времени, стационарным случайным процессом или нестационарным процессом. Помехи, как правило, представляются в виде случайного стационарного процесса с нулевым средним значением. Кроме того, на систему может действовать Еозмущение или несколько возмущений, приложенных к различным точкам объекта.

Рис. 4.3. Реальный одномерный фильтр.

Линейный оператор формирует из процесса и задающее воздействие которое и должно воспроизводиться на выходе системы управления с передаточной функцией Система управления должна состоять из неизменяемой части в качестве которой может рассматриваться, например, совокупность некоторых звеньев с малыми постоянными времени или звено временного запаздывания, и изменяемой части по отношению к которой имеется свобода выбора в части ее передаточной функции.

Таким образом, здесь приходится иметь дело с полужесткой структурой системы управления. Заметим, что сформулированное выше понятие неизменяемой части системы несколько отличается от обычно используемого в литературе, когда под неизменяемой частью просто понимается объект управления с его передаточной функцией. Дело в том, что применение различных корректирующих средств (последовательного типа, параллельного типа, обратных связей) позволяет активно влиять на передаточнуюфункциюобъекта, меняя ее нужным образом. Однако это может делаться только

до некоторого предела, который характеризуется минимальными значениями «остаточных» постоянных времени или временных запаздываний, которыми располагает конструктор. Поэтому неизменяемая часть системы определяется здесь в этом смысле.

При построении реальных фильтров возможны следующие случаи.

1. При условии задания характеристик полезного сигнала, помехи, возмущений и неизменяемой части системы требуется найти передаточную функцию системы управления при которой обеспечивается выполнение требований по точности, определяемых по среднеквадратичной ошибке, максимальной ошибке, наиболее вероятной ошибке или иным образом, и выполняются другие требования к системе, сформулированные в § 4.1.

Задача может облегчаться, если отсутствуют помехи на входе, либо отсутствуют возмущения, приложенные к объекту управления, либо отсутствует и то и другое. Однако она не становится при этом тривиальной.

2. При условии задания характеристик полезного сигнала, помехи, возмущений и неизменяемой части системы требуется определить передаточную функцию системы управления, при которой выполняется условие минимизации дисперсии ошибки что соответствует построению оптимальной системы.

Следует обратить внимание на то, что построение реальных фильтров представляет значительно более трудную задачу, чем построение, например, фильтра Винера. В этом можно убедиться, сравнив рис. 4.1 и рис. 4.3. Кроме того, выполнение первой сформулированной выше задачи часто оказывается более сложным, чем построение оптимальной системы. Дело заключается в том, что оптимальная система для имеющихся исходных данных всегда может быть построена и трудности нахождения оптимальной передаточной функции относятся к чисто математическим. Использование в настоящее время ЭВМ в значительной степени снимает эти трудности. Поэтому задача оптимизации системы управления, например, по минимуму дисперсии ошибки в некоторых случаях приобретает сейчас тривиальный характер.

В то же время задача построения системы с требуемой точностью при имеющихся исходных данных может и не

иметь решения. Если же решить эту задачу все же необходимо, то возможно, что придется решать попутно целый комплекс сложнейших проблем, связанных с переходом к более совершенным элементам системы управления, получением дополнительной информации о входных сигналах системы, например, по первой, второй и более высоким производным задающего воздействия, переходом к более совершенным средствам переработки информации и т. п.

Поэтому первая сформулированная выше задача не теряет своей актуальности, несмотря на развитие теории оптимальных систем, и, более того, она оказывает сейчас наиболее активное влияние на развитие техники автоматического управления.

Рис. 4.4. Реальный многомерный фильтр.

При переходе к многомерным системам управления задача построения реальных фильтров сохраняет свое значение. Структурная схема для этого случая изображена на рис. 4.4. На схеме показаны матрицы-столбцы полезных входных воздействий и помех задающих воздействий возмущающих воздействий управляемых величин и ошибки , а также матрицы передаточных функций

Все приведенные выше соображения по построению непрерывных систем управления на основе использования реальных фильтров практически сохраняют свое значение и для цифровых систем управления с учетом их особенностей — квантования по времени и квантования по уровню.