§ 8. Компоненты тензора скоростей деформации в криволинейных координатах
Рассмотрим криволинейные ортогональные координаты 
(рис. 7). Элементы координатных линий будут представляться в виде
где 
суть дифференциальные параметры Ляме. Выражение для первого из этих коэффициентов мы получим, если рассмотрим квадрат линейного элемента 
в декартовых координатах
и учтём, что приращения 
обусловлены приращением только одной координаты 
т. е.
Рис. 7.
Тогда получим:
т. е.
Так как составляющие вектора скорости точки можно получать с помощью деления элементарных отрезков пути перемещения на элементарный промежуток времени, то эти составляющие вектора скорости в криволинейных координатах будут иметь вид
Квадрат произвольного линейного элемента в криволинейных ортогональных координатах будет представляться следующим образом:
Дифференцируя это равенство по времени, получим:
Так как зависит от времени только через координаты 
то
Обозначение 
представляет собой разность значений координаты в двух близких точках, т. е.
поэтому будем иметь:
Подставляя полученные выражения в (8.4) и заменяя 
через 
получим следующую формулу для производной по времени от квадрата линейного элемента:
В случае прямолинейных осей координат производная от квадрата линейного элемента представлялась через компоненты скоростей деформации равенством (6.6). Сопоставляя формулы (6.6) и (8.5), мы можем прийти к тому заключению, что компоненты скоростей деформации частицы в криволинейных координатах можно получить из (8.5), собирая коэффициенты при квадратах и при произведениях линейных элементов координатных линий. Например, скорость деформации относительного удлинения отрезка, направленного по касательной к координатной линии 
мы получим, если соберём в правой части (8.5) коэффициенты при 
Скорость деформации сдвига в плоскости касательных к координатным линиям 
будет представляться в виде
Остальные компоненты скоростей деформации частицы можно получить из (8.6) и (8.7), меняя индексы в круговом порядке.
Для определения выражений компонент вихря в криволинейных координатах применим теорему Стокса к элементарной площадке 
Согласно этой теореме удвоенный поток вектора вихря через площадку равен циркуляции вектора скорости по контуру, ограничивающему эту площадку. Обозначим компоненты вектора вихря через 
Тогда удвоенный поток вектора вихря через рассматриваемую площадку будет представляться в виде
Циркуляцию по 
раничивающему площадку контуру будем подсчитывать как произведение проекции вектора скорости на касательную к контуру на элемент дуги и на косинус соответственного угла, т. е.
Таким образом, компонента вихря 
будет представляться в виде
Выражения для других компонент вихря могут быть получены из (8.8) изменением индексов в круговом порядке.
Рассмотрим цилиндрические координаты 
и z (рис. 8). Квадрат линейного элемента представляется в виде
Следовательно, параметры Ляме будут равны
Обозначая компоненты скорости движения через 
ииги используя формулы (8.6) и (8.7), получим следующие выражения для скоростей деформации частицы в цилиндрических координатах:
Рис. 8.
Компоненты вектора-вихря в цилиндрических координатах будут представляться в виде
Рис. 9.
Квадрат линейного элемента в сферических координатах (рис. 
и I представляется в виде
Следовательно,
Если обозначить компоненты скорости движения через 
то на основании формул (8.6) и (8.7) получим следующие выражения
для скоростей деформации частицы в сферических координатах:
Компоненты вектора-вихря в сферических координатах будут представляться в виде
