§ 5. Задача Громеки о движении жидкости в цилиндрической трубе
Рассмотрим неустановившееся движение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе в предположении, что по двум её сечениям, находящимся на расстоянии l, распределены давления 
(рис. 85). Решение этой задачи при переменных давлениях 
и при произвольном начальном распределении скоростей было дано ещё в 1882 г. в работе И. С. Громеки. Мы будем
Рис. 85.
рассматривать тот случай, когда давления 
во времени не меняются, а в начальный момент 
жидкость находится в покое. В силу этих предположений движение вязкой жидкости будет осесимметричным, т. е.
где 
— полярный угол, проведённый в плоскости 
перпендикулярной к оси трубы. В полярных координатах дифференциальное уравнение (1.4) прямолинейного движения вязкой жидкости при использовании (5.1) представится в виде
В рассматриваемом нами случае последнее слагаемое, представляющее собой перепад давления, отнесённый к плотности, будет постоянным, т. е.
Начальное условие и условие прилипания будут иметь вид:
Проводя преобразование Лапласа, т. е. переходя от оригинала к изображению в уравнении (5.2) и граничном условии (5.4), получим:
Независимыми решениями уравнения (5.5) без правой части будут функции Бесселя от мнимого аргумента
а частным решением уравнения (3.5) с правой частью будет постоянная
Таким образом, общее решение уравнения (5.5) будет иметь вид
Так как функция 
обращается в бесконечность при 
то необходимо постоянную В положить равной нулю. Для определения
постоянной А используем граничное условие (5.5). В результате всего этого для изображения скорости будем иметь:
а для оригинала:
Используя разложение (4.7) и равенства (4.8), получим:
(5.8)
Функция Бесселя от мнимого аргумента представляется следующим рядом:
Подставляя этот ряд в (5.8), получим:
Между функциями Бесселя от мнимого аргумента и от действительного имеет место следующее соотношение:
На основании этого соотношения корни уравнения
будут представляться в виде
где 
корни функции Бесселя нулевого порядка
Подставляя значения корней (5.12) в правую часть (5.9), получим:
На основании одного из рекуррентных соотношений для функций Бесселя имеем:
Следовательно, коэффициент 
будет окончательно представляться в виде
Суммируя (5.10) и (5.14) и подставляя в (5.7), получим решение рассматриваемой задачи в виде следующего ряда:
Чтобы получить формулу для расхода, умножим обе части (5.15) на 
проинтегрируем от 0 до а и воспользуемся рекуррентной формулой
В результате получим:
Формула Пуазейля (5.9) главы IV получится из (5.16) при предельном переходе времени t к бесконечности.
Для силы вязкости на стенке цилиндрической трубы будем иметь:
Для корней функции Бесселя 
порядка имеют место следующие равенства:
В нашем случае 
Полагая в (5.16) и (5.17) 
и используя (5.18), получим, что для начального момента расход и сила вязкости на стенке обращаются в нули:
С возрастанием времени расход (5.16) и сила вязкости (5.17) на стенке будут возрастать и приближаться к своим предельным значениям, имеющим место при установившемся движении вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе.
