ГЛАВА IX. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

§ 1. Общая постановка задачи о прямолинейно-параллельном неустановившемся течении вязкой жидкости

Будем считать жидкость несжимаемой, т. е.

действием массовых сил будем пренебрегать

и будем полагать траектории всех частиц прямолинейно-параллельными, т. е.

При этих трёх предположениях из уравнения несжимаемости будем иметь:

а дифференциальные уравнения движения (10.1) главы II представятся в виде

На основании двух последних уравнений заключаем, что давление не зависит от переменных у и . Если при этом учесть (1.1), то в первом уравнении (1.2) слагаемые, содержащие и, будут зависеть от переменных у, z и t, тогда как слагаемое с давлением будет зависеть от переменных х и t, а это возможно только в том

случае, если перепад давления по течению будет функцией только от одного переменного — времени, т. е.

Таким образом, задача изучения неустановившегося прямолинейнопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению дифференциального уравнения параболического типа

Функция характеризующая перепад давления на единицу длины, должна, вообще говоря, считаться известной. Для определённости решения дифференциального уравнения (1.4) должны быть заданы начальные и граничные условия. Начальное условие должно сводиться к заданию распределения скорости во всей рассматриваемой области в плоскости для какого-либо момента времени, принимаемого обычно за начальный, т. е.

Область течения в плоскости может быть односвязной, двусвязной и многосвязной. Если, например, рассматривается прямолинейно-параллельное течение между двумя цилиндрическими поверхностями, ограниченными в сечениях какими-либо замкнутыми кривыми (рис. 76), то область течения будет двусвязной. На обоих контурах должны быть заданы граничные условия. Если полагать, что внутренний цилйндр перемещается параллельно своей образующей со скоростью , а внешний цилиндр неподвижен, то граничные условия, выражающие гипотезу о прилипании частиц жидкости к стенкам, будут представляться в виде:

Рис. 76.

Следовательно, изучение неустановившегося прямолинейно-параллельного течения вязкой несжимаемой жидкости сводится математически к решению уравнения (1.4) типа уравнения теплопроводности при начальном условии (1.5) и граничных условиях (1.6).

Общую задачу решения уравнения (1.4) при условиях (1.5) и (1.6) мы можем разделить на две отдельные задачи, из которых первая задача будет учитывать действие перепада давления, а вторая — движение стенок и начальное распределение скоростей. Полагая

будем иметь для первой задачи:

и для второй:

Вторую задачу в свою очередь можно разделить также на две отдельные задачи. Первая из них будет представлять собой задачу о выравнивании начального распределения скорости, а вторая будет характеризовать распространение скорости движения от стенки к промежуточным слоям жидкости. Если мы положим:

то для первой задачи будем иметь:

и для второй:

Таким образом, решение первоначальной общей задачи можно составить из решений трёх отдельных задач (1.7), (1.9) и (1.10). Если перепад давления будет равен нулю, то решение первой задачи (1.7) будет тождественно равно нулю. Если же для начального момента времени жидкость будет находиться в покое, то решение задачи (1.9) будет также нулём. При выполнении этих двух условий задача изучения прямолинейного движения жидкости будет сводиться только к задаче (1.10). Решение задачи (1.10) при произвольном задании функции может быть построено на основании решения той же

задачи, отвечающей значению равному единице на границе с помощью интеграла Дюгамеля. В самом деле, обозначим через единичное решение задачи (1.10), т. е. решение уравнения

при условиях:

Тогда решение задачи (1.10) будет представляться формулой Дюгамеля

Покажем вначале формально, что правая часть (1.12) действительно представляет собой решение задачи (1.10). Так как правая часть (1.12) представляет собой предел суммы частных решений вида дифференциального линейного уравнения (1.10), то этот предел будет также решением того же уравнения. Полагая в правой части и учитывая значение получим, что и Аналогично обстоит дело и с удовлетворением граничного условия на контуре На контуре же будем иметь:

Таким образом, функция представляемая в виде (1.12), действительно будет решением задачи (1.10).

Рис. 77.

Дадим теперь непосредственный вывод формулы Дюгамеля (1.12).

Представим заданную функцию графически в виде некоторой кривой (рис. 77). Фиксированный конечный интервал времени от нуля до t разобъём на малые интервалы продолжительностью т. е. положим

Данную кривую заменим ломаной линией, начальная ордината которой будет К концу интервала времени приращение ординаты будет равно

Следующее приращение ординаты равно

а приращение номера k будет:

Функция представляет собой решение задачи (1.11). Если бы на границе поддерживалась всё время скорость ), то к моменту конца интервала времени t в произвольной точке области между создавалась бы скорость, равная

Следовательно, на функцию можно смотреть как на своего рода коэффициент передачи в течение интервала времени скорости, возбуждаемой на границе в точку с координатами у и z. Но так как скорость на границе меняется, то скорость точке может определяться по формуле (1.13) не для всего конечного интервала времени, а только для интервала времени

К концу интервала времени скорость на границе получит приращение это приращение будет передаваться во все точки области между но передача будет происходить, не в течение всего интервала времени от нуля до а в течение интервала времени Следовательно, если бы дальнейшего приращения скорости на границе не происходило, то к концу интервала времени t в точке мы получили бы приращение скорости равное

Но на самом деле скорость на границе к концу интервала, времени получит новое приращение следовательно, приращение скорости в точке можно подсчитывать по формуле (1.14) лишь для интервала времени

Для следующего интервала времени приращение скорости в точке надо уже подсчитывать по формуле

Продолжая, далее, эти рассуждения для интервала номера k, будем иметь приращение скорости в точке в виде

Складывая (1.13) с суммой (1.14), (1.15) и (1.16), получим выражение для всей скорости в точке к концу интервала времени t в виде

Полагая

увеличивая n до бесконечности и уменьшая до нуля, в результате предельного перехода получим из (1.17) формулу Дюгамеля (1.12).

Заметим, что формула Дюгамеля (1.12) может быть использована не только для решения дифференциального уравнения типа теплопроводности, но и для некоторых других видов линейных дифференциальных уравнений, содержащих частные производные по времени. Смысл формулы Дюгамеля заключается в том, что скорость в какой-либо момент времени в некоторой точке внутри области, занятой вязкой жидкостью, будет определяться не значением скорости на границе в данный момент времени, а изменением значений скорости на границе за всё предшествующее время, начиная с начального момента времени. Таким образом, формула Дюгамеля представляет собой математическое выражение своего рода «принципа наследственности» в механике неустановившегося движения вязкой жидкости.