§ 8. Диффузия вихревой нити

Дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения вязкой несжимаемой жидкости без учёта сил из (6.4) главы II представляются в виде

Исключая перекрёстным дифференцированием давление, используя уравнение несжимаемости и выражение для вихря

получим следующее дифференциальное уравнение для вихря:

Левая часть (8.1) представляет - собой индивидуальную производную по времени от вихря, поэтому при переходе к полярным координатам будем иметь:

Рассмотрим теперь задачу о диффузии прямолинейной вихревой нити. Пусть в начальный момент распределение скоростей частиц безграничной несжимаемой жидкости совпадает с распределением скоростей вокруг одной прямолинейной вихревой нити, расположенной вдоль оси z, т. е.

где — начальное значение циркуляции вихря. Попытаемся выяснить: 1) как будет изменяться благодаря вязкости циркуляция заданной вихревой нити в последующие моменты времени и 2) как вихревое движение в силу вязкости будет передаваться от одних частиц к другим.

В данном случае движение частиц и в последующие моменты времени останется круговым. Для кругового движения частиц единственная компонента вихря на основании (8.10) главы I будет представляться в виде

Так как скорость не зависит от угла то выражение для вихря также не будет зависеть от этого угла. Поэтому дифференциальное уравнение (8.2) для вихря в круговом движении будет иметь вид

Обе части равенства (8.4) умножим на площадь элемента

и проведём интегрирование по площади окружности произвольного радиуса г:

Левая часть полученного равенства представляет собой полный поток вихревых линий, пронизывающих площадь введённой окружности, который по теореме Стокса равен циркуляции вектора скорости по этой окружности. Обозначая эту циркуляцию через Г, получим:

Таким образом, для определения циркуляции необходимо установить выражение для самой скорости частиц жидкости. Попытаемся это

выражение для скорости найти с помощью решения (7.10) задачи о вращении цилиндра в безграничной жидкости. Подставляя в это решение вместо угловой скорости вращения цилиндра выражение

будем иметь:

Будем теперь радиус цилиндра а уменьшать до нуля. Из приведённого в § 6 разложения функции Бесселя первого порядка следует, что

Для функции Неймана имеет место следующее разложение:

На основании этого разложения заключаем, что

Подставляя в выражение (8.7) предельные значения (8.8) и (8.9), получим:

Если в правой части этого равенства время t увеличить до бесконечности, то скорость частиц жидкости будет стремиться к тому выражению, которое имеет место для одной вихревой нити:

Составляя разность правых частей (8.11) и (8.10), получим следующее выражение для скорости частиц жидкости:

Покажем, что данное выражение и будет представлять решение рассматриваемой задачи о диффузии прямолинейной вихревой нити.

В теории бесселевых функций приводится следующая интегральная формула:

Полагая в этой формуле

и учитывая, что

получим:

Таким образом, решение задачи о диффузии прямолинейной вихревой нити будет представляться следующей конечной формулой:

Легко усмотреть, что полученное решение (8.13) начальному условию (8.3) удовлетворяет.

Подставляя выражение (8.13) для скорости в (8.4), получим следующее конечное выражение для вихря:

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что выражение (8.14) для вихря удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.5).

Если подставить выражение (8.13) в (8.6), то получим следующее выражение для циркуляции:

Таким образом, циркуляция заданной в начальный момент прямолинейной вихревой нити будет убывать до нуля.

Из выражения (8.14) следует, что наибольшее значение вихря имеет место там, где в начальный момент находилась вихревая нить, т. е. при При удалении от этого места вихрь будет резко

уменьшаться. В каждом данном месте вихрь будет возрастать от нуля до максимума, наступающего в момент времени

После этого момента вихрь снова будет уменьшаться до нуля. Картина расплывания вихревой нити со временем аналогична той, которую мы получили в § 3 для диффузии вихревого слоя.