§ 3. Интегральные соотношения

Первое основное уравнение (1.13) пограничного слоя является нелинейным. Поэтому йнтегрирование уравнений пограничного слоя для конкретных задач связано с достаточно большими трудностями, как это было показано на примере пластинки в § 2. Это обстоятельство побудило многих исследователей искать приближённые методы, упрощающие либо задачу изучения движения жидкости в пограничном слое, либо метод отдельных операций вычисления характеристик пограничного слоя. К настоящему моменту в литературе имеется достаточно большое количество различных приближённых методов изучения пограничного слоя. Основная группа этих приближённых методов связана с использованием интегральных соотношений пограничного слоя.

Первое интегральное соотношение было установлено Карманом с помощью применения теоремы об изменении количества движения в фиксированном элементе пограничного слоя. Второе соотношение было установлено Л. С. Лейбензоном с помощью применения теоремы об изменении полной энергии в фиксированном элементе пограничного слоя. Обобщение этих соотношений было дано В. В. Голубевым. Дадим вывод этих соотношений, следуя рассуждениям В. В. Голубева.

Умножим обе части первого уравнения (1.13) на и проинтегрируем от нуля до 3, представляющей собой толщину пограничного слоя; получим:

Выполняя простейшие вычисления и учитывая, что толщина слоя зависит от переменного х, будем иметь:

Используя граничные условия (1.14) и (1.15) и уравнение несжимаемости, получим:

Принимая во внимание (3.3), подставим выражения (3.2) в (3.1); получим:

Таким образом, интегральное соотношение В. В. Голубева будет иметь следующий вид:

Полагая в соотношении получим интегральное соотношение Кармана в виде

Рис. 70.

Первое слагаемое в левой части представляет собой секундное изменение количества движения в фиксированном элементе пограничного слоя за счёт входа и выхода масс через две боковые границы этого элемента (рис. 70), поделённое на длину элемента Второе слагаемое левой части (3.6) представляет количество движения, вносимое массой через верхнюю границу слоя за секунду. Правая же часть соотношения (3.6) есть импульс сил давления и сил вязкости, отнесённый к единице времени и единице расстояния вдоль координаты х.

Полагая в соотношении и учитывая, что получим энергетическое интегральное соотношение Лейбензона

Первое слагаемое в левой части (3.7) с точностью до множителя представляет собой секундное изменение кинетической энергии в фиксированном элементе пограничного слоя, обусловленное входом и выходом масс через боковые границы и BBV Второе слагаемое связано с изменением кинетической энергии за счет входа масс через верхнюю границу слоя. Наконец, последнее слагаемое в правой части (3.7) представляет собой ту часть энергии, которая рассеивается благодаря силам вязкости.

Так как давление и скорость внешнего потока U считаются известными функциями от переменного х, то интегральные соотношения (3.5), (3.6) и (3.7) будут содержать две неизвестные функции, из которых первая будет представлять собой распределение основной скорости и по толщине слоя, а вторая — изменение толщины слоя с изменением криволинейной координаты х. При использовании этих интегральных соотношений приходится первую из неизвестных функций в какой-то мере задавать заранее и отдельные коэффициенты её определять из граничных условий. При подстановке в интегральное соотношение (3.5) задаваемой функции распределения скоростей по толщине слоя получится для толщины слоя дифференциальное уравнение первого порядка.

В работе Польгаузена распределение скоростей по сечению пограничного слоя задавалось в виде многочлена не выше четвёртой степени. В работе Л. Г. Лойцянского для распределения основных скоростей использовался многочлен шестой степени. В одной из первых работ А. А. Космодемьянского распределение скоростей представлялось в виде и Сопоставление результатов расчёта во всех этих случаях с результатами решения уравнений пограничного слоя, приведёнными для пластинки в предшествующем параграфе, показывает сравнительно малое расхождение, особенно в отношении числового множителя в выражении (2.18) для коэффициента сопротивления пластинки. Это обстоятельство и послужило основанием, с одной стороны, для широкого использования метода интегральных соотношений, а с другой стороны, для некоторого произвола как в выборе вида функции распределения основных скоростей по толщине слоя, так и в назначении дополнительных граничных условий для определения коэффициентов этой функции.

Дополнительные граничные условия устанавливаются на основании непосредственного использования самих уравнений (1.13) для пограничного слоя. Например, если учесть, что на стенке скорости и и v обращаются в нуль, то из первого уравнения (1.13) получим новое граничное условие на стенке в виде

Дифференцируя левую и правую части первого уравнения (1.13) по переменному у, будем иметь:

Сумма первого и третьего слагаемых в левой части на основании уравнения несжимаемости будет обращаться в нуль. Остальные слагаемые в левой части будут обращаться в нуль на стенке; отсюда получим ещё новое дополнительное условие на стенке

Используя граничные условия (1.15), первое уравнение (1.13) для точек верхней границы слоя можно представить в виде

Если положить

и учесть, что из интеграла Бернулли линий тока внешнего потока, примыкающих к верхней границе слоя, будем иметь:

то из (3.11) получим ещё одно граничное условие

Если бы мы ещё раз продифференцировали равенство (3.9) по переменному у и использовали бы все ранее полученные граничные условия, то получили бы ещё новые дополнительные условия для производных третьего и четвёртого порядка от искомой функции и. Разумеется, что этот процесс получения новых граничных условий можно продолжать и дальше. Подчиняя выбор вида функции распределения по толщине слоя основных скоростей всё большему числу дополнительных граничных условий, мы тем самым можем всё больше и больше приближать задаваемую функцию к действительному решению самих уравнений (1.13) пограничного слоя.