ГЛАВА IX. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Общая постановка задачи о прямолинейно-параллельном неустановившемся течении вязкой жидкости
Будем считать жидкость несжимаемой, т. е.
действием массовых сил будем пренебрегать
и будем полагать траектории всех частиц прямолинейно-параллельными, т. е.
При этих трёх предположениях из уравнения несжимаемости будем иметь:
а дифференциальные уравнения движения (10.1) главы II представятся в виде
На основании двух последних уравнений заключаем, что давление не зависит от переменных у и z. Если при этом учесть (1.1), то в первом уравнении (1.2) слагаемые, содержащие и, будут зависеть от переменных у, z и t, тогда как слагаемое с давлением будет зависеть от переменных х и t, а это возможно только в том
простирается до бесконечности. Отказ хотя бы от одного из этих предположений приводит к ликвидации парадокса Стокса, т. е. к возможности решения соответственной плоской задачи. Так, например, отказ от предположения стационарности движения самой жидкости при сохранении двух других предположений позволил Бассе и Озеену построить решение задачи о движении круглого цилиндра в безграничной жидкости при разных начальных условиях. При частичном учёте квадратичных членов инерции по методу Озеена и при сохранении первого и третьего предположений Ламб построил решение той же задачи о движении круглого цилиндра в безграничной жидкости. При отказе от третьего предположения область, занятая жидкостью, перестаёт быть односвязной. Возможность решения задачи о движении круглого цилиндра в ограниченной области при сохранении двух первых предположений была показана в ряде случаев. Один из простейших случаев рассмотрен выше, в § 3, другой случай — движение цилиндра между параллельными стенками — подробно исследован в работе Бэрстоу, а третий случай — поступательное движение шипа в подшипнике — рассмотрен в работе М. В. Коровчинского.
Таким образом, на основании бигармонического уравнения для функции тока можно решать следующие задачи: 1) о вращении плоского контура в неограниченной жидкости, 2) внутренние задачи о течениях в односвязной области и 3) задачи о поступательном движении плоского контура в ограниченной области. Для этих задач и могут быть использованы методы теории функций комплексного переменного.
