§ 11. Обобщённая гипотеза Ньютона

Если рассматривать силу вязкости как касательное напряжение, а производную от скорости движения частицы по нормали к направлению скорости как удвоенную скорость деформации, сдвига, то гипотеза Ньютона о силе вязкости жидкости будет сводиться к тому заключению, что касательное напряжение пропорционально скорости деформации сдвига. Такое заключение было сделано в § 4 для случая прямолинейно-параллельного движения жидкости.

Первое обобщение гипотезы Ньютона мы получим, если распространим это заключение и на общий случай движения жидкости, полагая, что каждая компонента касательного напряжения пропорциональна соответственной скорости деформации сдвига, т. е.

где — коэффициент вязкости.

Далее примем, что главные оси деформаций совпадают с главными осями напряжений в каждой точке области, занятой

жидкостью. Жидкость, для которой это положение будет справедливым, называется изотропной. В изотропной жидкости нет каких-либо исключительных направлений по отношению к деформациям и напряжениям.

Выберем за оси координат три направления главных осей деформаций и главных осей напряжений и применим формулы (11.1) к главным касательным напряжениям (§ 10) и главным скоростям деформации сдвига (§ 7):

Заменяя главные касательные напряжения через главные нормальные напряжения по формулам (10.21) и главные скорости деформации сдвига через главные скорости удлинений по формулам (7.8), получим:

Таким образом, для изотропной жидкости отношения разностей главных нормальных напряжений к разностям соответственных главных скоростей удлинений равны между собой и равны удвоенному значению коэффициента вязкости.

Из соотношения (11.2) можно определить разности компонент главных нормальных напряжений, но не каждую компоненту нормального напряжения в отдельности. Следовательно, первого обобщения гипотезы Ньютона, представленного соотношениями (11.1), ещё недостаточно для установления связи между состоянием напряжений и состоянием скоростей деформаций в каждой точке области, занятой жидкостью.

Из трёх соотношений (11.2) независимыми являются только два. Следовательно, для определения трёх компонент недостаёт лишь одного соотношения, связывающего нормальные главные напряжения с главными скоростями удлинений. Такое дополнительное соотношение мы получим, если в качестве второго обобщения гипотезы Ньютона примем, что среднее нормальное напряжение в каждой точке состоит из давления, непосредственно не зависящего от скоростей деформаций, и дополнительного напряжения, пропорционального скорости объёмной деформации, т. е.

где к — второй коэффициент вязкости. Первый коэффициент вязкости был непосредственно связан со скоростью деформации сдвига, второй же коэффициент вязкости связан со скоростью объёмной деформации частицы.

Решая совместно соотношения (11.2) и (11.3), получим следующие равенства для главных нормальных напряжений:

Таким образом, главные нормальные напряжения составляются из давления, из напряжения, пропорционального соответственной главной скорости удлинения, и напряжения, пропорционального скорости объёмной деформации.

Соотношения (11.4) могут быть получены и иным путём, а именно: вначале принимаем, что главные оси напряжений совпадают с осями главных скоростей деформаций. Затем полагаем, что алгебраические разности между главными нормальными напряжениями и давлением будут линейными функциями главных скоростей удлинений, т. е.

Рис. 16.

Покажем, что из трёх коэффициентов независимыми будут только два. Для этого перейдём к новым осям координат получаемых из первых с помощью поворота вокруг оси (рис. 16) на угол в 90°. По отношению к этим осям (11.5) представится в виде

Но вследствие

будем иметь:

Следовательно, равенство (11.6) примет вид

Приравнивая правые части (11.5) и (11.7), получим:

В таком случае (11.5) представится в виде

Обозначая

из (11.8) получим:

Правая часть (11.9) будет совпадать с правой частью первого соотношения (11.4), если положить:

    (11.10)

Уравнения (11.4) связывают главные нормальные напряжения с главными скоростями удлинений. Чтобы получить соответственные соотношения для нормальных напряжений по трём взаимно перпендикулярным площадкам с произвольной их ориентацией по отношению к главным осям, воспользуемся формулой (10.14), имеющей вид

Подставляя в правую часть значения из (11.4), получим:

Сумма, входящая множителем в первое слагаемое в правой части, представляет собой единичный вектор нормали к рассматриваемой площадке, т. е.

вторая же сумма согласно формуле (7.14), а затем формуле (5.10) может быть представлена в виде

где — направляющие косинусы нормали по отношению к осям коор динат, не совпадающим с направлениями главных осей напряжений и деформаций в рассматриваемой точке.

Таким образом, вектор напряжения на площадке с нормалью будет представляться в виде

Проектируя левую и правую части (11.12) на нормаль, т. е. умножая скалярно на единичный вектор нормали

получим выражение для нормального напряжения в виде

Скорость относительного удлинения отрезка, совпадающего с нормалью , мы получим из формулы (6.5), если поделим левую и правую части этой формулы на и заменим

Следовательно, скорость относительного удлинения отрезка будет представляться в виде

Итак, нормальное напряжение на площадке с произвольным направлением нормали представляется следующим образом:

Применяя эту формулу к площадкам, нормали к которым будут совпадать с положительными направлениями осей координат получим:

    (11.16)

Полученные соотношения (11.1) и (11.16) связывают между собой все шесть компонент напряжений и все шесть компонент скоростей

деформации частицы. Их можно объединить в виде следующей зависимости тензора напряжений от тензора скоростей деформаций:

    (11.17)

Тензор, у которого элементы по диагонали равны единице, а все остальные равны нулю, называется единичным тензором. Это соотношение показывает, что тензор напряжений является линейной неоднородной функцией от тензора скоростей деформаций частицы.

Если мы учтём выражения компонент скоростей деформации частицы через компоненты скоростей движения её центра, то соотношения (11.1) и (11.16) представятся в виде

Равенства (11.18) представляют собой в окончательном виде обобщённую гипотезу Ньютона, устанавливающую дифференциальную связь между компонентами напряжений и скоростями движений частиц жидкости.

Девиатор напряжений (10.22) через главные нормальные напряжения представляется в виде

Девиатор скоростей деформаций (7.9), представленный через главные скорости удлинений, имеет вид

Если значения разностей главных нормальных напряжений в заменим согласно (11.2) через разности главных скоростей удлинений, то мы получим:

    (11.19)

Таким образом, обобщение гипотезы Ньютона, представленное соотношениями (11.1) или (11.2), по своему существу означает, что девиатор напряжений пропорционален девиатору скоростей деформации, причём коэффициент пропорциональности равен удвоенному коэффициенту вязкости.

Заметим, что соотношение (11.3) есть не что иное, как линейное соотношение между линейным инвариантом тензора напряжений ) и линейным инвариантом тензора скоростей деформаций т. е.

    (11.20)

Аналогично обстоит дело и с соотношениями (11.2). Если мы возьмём квадратичный инвариант девиатора напряжений (10.28), заменим в нём разности напряжений из (11.2) и учтём выражение (7.12) для квадратичного инварианта тензора скоростей деформации, то получим:

Таким образом, обобщённая гипотеза Ньютона сводится к линейному соотношению (11.20) линейных инвариантов тензоров напряжений и скоростей деформации и к линейному соотношению (11.21) квадратичных инвариантов девиаторов напряжений и скоростей деформаций. Это обстоятельство указывает на то, что обобщённая гипотеза Ньютона обладает свойством инвариантности, т. е. она не зависит от выбора системы координат. Наконец, подставляя в (11.21) значения из (10.29) и значения из (7.13), получим:

    (11.22)

Таким образом, обобщение гипотезы Ньютона, представленное соотношениями (11.1) или (11.2), сводится к тому, что интенсивность касательных напряжений пропорциональна интенсивности скоростей деформаций сдвига.

На основании (10.26) нормальное напряжение на площадке результирующего сдвига сводится лишь к среднему нормальному напряжению. След о- вательно, соотношение (11.3) можно представить также в виде

    (11.23)

Таким образом, второе обобщение гипотезы Ньютона сводится к установлению линейного неоднородного соотношения между нормальным напряжением на площадке результирующего сдвига и скоростью объёмной деформации.

Уравнения (11.18), представляющие гипотезу Ньютона в окончательном виде, содержат два коэффициента вязкости и . Эти два коэффициента вязкости следует рассматривать как физические постоянные, зависящие прежде всего от температуры и, может быть, от давления. Так как в процессе движения жидкости температура, вообще говоря, не будет оставаться постоянной, то и введённые коэффициенты вязкости, вообще говоря, тоже должны рассматриваться как переменные величины, зависящие через температуру от времени и координат рассматриваемой частицы. Зависимость значения первого коэффициента вязкости от давления начинает проявляться

при сравнительно больших давлениях, причём по исследованиям Бриджмена вязкость многих жидкостей увеличивается до давлений приблизительно по линейному закону, а затем это увеличение проходит по более резко подымающейся кривой.

Можно считать оба коэффициента вязкости строго постоянными лишь в том случае, когда можно пренебречь изменениями температуры при движении жидкости и когда нет внешних источников изменения температуры и давления внутри области, занятой жидкостью.

Первый коэффициент вязкости является основным. Для его определения существует множество различных способов, основанных на применении тех конечных формул, которые могут быть получены в результате интегрирования соответственных дифференциальных уравнений с использованием соотношений (11.18) для частных случаев движения жидкости. О некоторых из этих способов мы будем говорить ниже. Что же касается второго коэффициента вязкости, необходимость учёта которого может возникать только при рассмотрении того движения жидкости или газа, в котором явно проявляется свойство их сжимаемости, то до последнего времени его совершенно не учитывали. И только в связи с исследованиями JI. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича влияния внутренних процессов с большим временем релаксации на распространение звука в жидкости было указано на необходимость учёта второго коэффициента вязкости. В отдельных случаях значение второго коэффициента вязкости может намного превышать значение основного коэффициента вязкости. Но приборов по определению второго коэффициента вязкости пока не предложено.