§ 12. Случай импульсного источника

Следуя указанному в предшествующем параграфе обратному детоду, рассмотрим ещё один случай точного интегрирования уравнений установившегося осесимметричного движения вязкой несжимаемой жидкости.

В уравнениях (11.1) примем поперечную скорость равной нулю и введём функцию тока полагая

Тогда первое и третье уравнения (11.1) можно представить в виде

где D — оператор Стокса, равный

Перейдём теперь к сферическим координатам R и 0 и положим:

Отсюда будем иметь соотношения

Умножая в первый раз левые части (12.2) на и соответственно,

правые части на а во второй раз левые части на , а правые — на и складывая, получим дифференциальные уравнения движения в сферических координатах

Исключая из уравнений (12.4) с помощью перекрёстного дифференцирования давление, получим следующие дифференциальные уравнения для функции тока:

где оператор Стокса имеет вид

Компоненты скорости и будут представляться через функцию тока в виде

Наконец, полагая

будем иметь для функции тока уравнение в виде

при этом

Решение дифференциального уравнения (12.9) будем искать в виде произведения произвольной функции от переменного х на радиус

    (12.13)

При этом предположении будем иметь:

    (12.14)

Интегрируя последнее соотношение по , получим для давления:

Дифференциальное уравнение (12.9) для функции тока представится в виде

Так как

то дифференциальное уравнение (12.16) представится в виде

    (12.17)

Проводя интегрирование, получим дифференциальное уравнение Риккати

    (12.18)

С помощью подстановки

    (12.19)

уравнение (12.18) приводится к линейному уравнению второго порядка

Если все постоянные положить равными нулю, то получим решение уравнения (12.20) в виде

Отсюда будем иметь:

Простейшее решение дифференциального уравнения (12.18), представленное в виде (12.21), было получено Ландау и истолковано как решение, отвечающее затопленной струе. Другие случаи интегрирования уравнения Риккати (12.18) рассмотрены в книге Седова.

Чтобы истолковать гидродинамический смысл решения, отвечающего функции тока (12.13), обратимся к выражениям (2.11) главы II векторов, образующих тензор плотности потока импульсов. В сферических координатах эти три вектора представятся в виде

    (12.22)

где -вектор скорости, — векторы напряжений по площадкам, перпендикулярным к координатным линиям R, 0 и . Для рассматриваемого нами случая осесимметричного движения для компонент тензора напряжения из (6.9) главы П будем иметь:

    (12.23)

Так как компоненты скорости из (12.14) обратно пропорциональны радиусу, а давление из (12.15) обратно пропорционально квадрату радиуса, то каждый из трёх векторов (12.22), представляющих тензор плотности потока импульсов, будет обратно пропорционален квадрату сферического радиуса. Это значит, что если мы проведём из начала координат пучок направлений, образующих круглый конус с небольшим углом раствора (рис. 42), то для всех сечений этого конуса произведение каждой составляющей из трёх векторов о на площадь сечения будет одним и тем же. В частности, будет одним и тем же поток вектора-импульса, направленного по нормали к сечению, т. е.

    (1224)

Рис. 42.

На этом основании можно говорить, что решение (12.13) представляет собой случай импульсного источника, т. е. такого течения, при котором поток радиальной компоненты вектора импульса через все сечения элементарного конуса с вершиной в начале координат остаётся постоянным.

Случай Ландау представляет собой простейший импульсный источник, при котором единственная тангенциальная составляющая векторов импульсов обращается в нуль. В самом деле, если мы возьмём выражение касательной составляющей

    (12-25)

и подставим значения из (12.14), то получим:

Приравнивая квадратную скобку нулю, получим уравнение

    (12.26)

После одного интегрирования получим дифференциальное уравнение вида

    (12.27)

Сравнивай уравнение (12.27) с уравнением (12.18), мы видим, что левые части тождественно совпадают, а правые части отличаются на слагаемые, содержащие постоянные Чтобы, наконец, перейти к решению (12.21), надо ещё и постоянное положить равным нулю. Единственное постоянное, входящее в решение (12.21), можно определить, задавая, например, постоянную потока импульса, входящую в правую часть (12.24).