§ 5. Об устойчивости кругового движения между двумя бесконечными цилиндрами

В § 7 главы IV было рассмотрено установившееся круговое движение частиц вязкой несжимаемой жидкости. Для единственной компоненты скорости была получена формула

Если рассматривать круговое движение между двумя вращающимися цилиндрами , то на основании условий прилипания частиц жидкости к стенкам получим:

Будем теперь исследовать устойчивость кругового движения (5.1) с помощью метода малых колебаний. При этом будем предполагать, что поле возмущений является пространственным, но обладающим осевой симметрией. При этих предположениях для поля возмущений будут иметь место дифференциальные уравнения (2.16). Если в эти уравнения подставить выражение (5.1), то получим:

Потребуем, чтобы компоненты вектора скорости поля возмущений удовлетворяли условиям прилипания, т. е.

Таким образом, задача исследования устойчивости кругового движения сводится к решению системы уравнений (5.3) при граничных условиях (5.4).

Следуя методу малых колебаний, примем, что полз возмущений является периодическим по отношению к координате z и положим:

где множители зависят только от одного переменного . Подставляя (5.5) в уравнения (5.3) и исключая из них давление поля возмущений получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

где

При этом граничные условия (5.4) принимают вид:

Искомую функцию представим в виде ряда Фурье — Бесселя

где

представляет собой цилиндрическую функцию общего вида. Постоянные подобраны так, чтобы были выполнены граничные условия для т. е.

Таким образом, множители суть корни уравнения

На основании теории рядов Фурье — Бесселя коэффициенты будут представляться в виде

где

Подставляя (5.9) в первое уравнение (5.6), получим:

Решение уравнения (5.13) без правой части представляет собой цилиндрическую функцию

где — произвольные постоянные. Решение уравнения (5.13) с правой частью можно представить в виде ряда

коэффициенты которого могут быть определены после подстановки этого ряда в уравнение (5.12) в виде

Таким образом, для функции мы получим:

Так как функция (5.10) обращается в нуль на границах, то для удовлетворения граничных условий (5.8) для постоянные необходимо положить равными нулю.

Обратимся теперь к уравнению (5.6) для На основании рекуррентных формул имеем:

Уравнению для без правой части

можно удовлетворить, полагая

Следовательно, общее решение второго уравнения (5.6) можно искать в виде

Подставляя (5.16), (5.15) и (5.9) во второе уравнение (5.6), получим следующее уравнение для определения постоянных

Подставляя (5.16) и (5.9) в третье уравнение (5.6) и учитывая рекуррентное соотношение

получим;

К уравнениям (5.17) и (5.18) необходимо присоединить два уравнения, которые мы можем получить, удовлетворяя выражением (5.16) граничным условиям (5.8) для .

Дальнейшие вычисления, проведённые в работе Тэйлора, приводят к бесконечной однородной системе уравнений для постоянных Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получим характеристическое или вековое уравнение, связывающее величины (3 и с заданными параметрами задачи . Подробный анализ этого уравнения проводится в цитированной работе Тэйлора в предположении, что разность радиусов цилиндров мала по сравнению с полусуммой.

На основании этого анализа получается, что если цилиндры вращаются в одну сторону, то круговое движение жидкости будет всегда устойчивым при выполнении следующего неравенства:

В работе Сайнджа показано, что критерий устойчивости (5.19) можно доказать и не прибегая к предположению о малости разности радиусов цилиндров по сравнению с их полусуммой.

Если же неравенство (5.19) не выполняется, т. е. если

или если концентрические цилиндры вращаются в разные стороны, то круговое движение частиц вязкой жидкости теряет свою устойчивость, как только число Рейнольдса (относящееся, например, к внешнему цилиндру, т. е. превысит своё критическое значение, достаточно близкое к значению, установленному из экспериментов.

Рис. 102.

На рис. 102 представлена кривая, отделяющая область устойчивости кругового движения от области неустойчивости, подсчитанная в работе Тэйлора для случая, когда , так что По горизонтальной оси отложены значения а по вертикальной.

Если внешний цилиндр находится в покое, а внутренний вращается или оба цилиндра вращаются в одну сторону, то появление неустойчивости характеризуется образованием ряда вихрей в плоскости меридионального сечения, заполняющих всё пространство между поверхностями цилиндров, при этом направления вращений этих вихрей чередуются. Такое образование вихрей хорошо подтверждается экспериментально. Окрашенная жидкость, первоначально распределённая

в виде тонкого слоя по поверхности внутреннего цилиндра, впоследствии свёртывается в виде чередующихся колец, охватывающих центры вихрей.

Если цилиндры вращаются в разные стороны, то неустойчивость кругового движения жидкости проявляется в образовании двух рядов вихрей, из которых один, имеющий большую интенсивность, располагается вблизи внутреннего цилиндра, а второй — с меньшей интенсивностью вблизи внешнего. В опытах окрашенная жидкость собиралась только вокруг вихрей с большей интенсивностью, а в области, примыкающей к внешнему цилиндру, вода оставалась прозрачной.

Места расположения центров вихрей, установленные на основании вычислений, очень хорошо подтверждены опытами; отклонения вычисленных значений критического числа Рейнольдса от соответственных опытных значений не превышают 2%.