§ 7. Движение шара в неограниченной жидкости

Рассмотрим задачу о прямолинейном поступательном движении шара в неограниченной вязкой жидкости с постоянной скоростью U, параллельной оси х (рис. 46). Предполагая: 1) жидкость несжимаемой, 2) движение жидкости установившимся и осесимметричным, т. е.

и 3) пренебрегая действием массовых сил и квадратичными членами инерции, получим из (12.5) главы IV дифференциальное уравнение для функции тока

где D — оператор Стокса, представляемый в сферических координатах в виде

Рис. 46.

При этих предположениях давление будет определяться на основании (12.4) главы IV из уравнений

а проекции вектора скорости будут представляться следующими равенствами:

При осесимметричном движении компоненты вихря на основании (8.12) главы I будут представляться в виде

Из этих выражений следует, что вихревые линии будут представлять собой окружности с центрами на оси симметрии. Величина вихря через функцию тока будет представляться в виде

При решении задачи о поступательном движении шара будем принимать условие прилипания к поверхности

Кроме того, положим, что на бесконечности обе составляющие скорости обратятся в нуль:

Вид граничных условий (7.6) указывает на возможность искать решения дифференциального уравнения (7.1) в виде

Учитывая выражение (7.2) оператора Стокса, получим:

Вычисляя ещё раз оператор Стокса и обращаясь к дифференциальному уравнению (7.1), получим обыкновенное уравнение для функции

Проверкой можно убедиться, что общее решение этого уравнения имеет вид

Подставляя значение в (7.9), получим:

Составляя решение полученного дифференциального уравнения (7.10) для F из общего решения однородного уравнения и частных решений,

отвечающих каждому слагаемому правой части (7.10), получим:

Таким образом, для функции тока и компонент скорости будем иметь:

Чтобы удовлетворить условиям (7.7) на бесконечности, необходимо положить:

Используя граничные условия (7.6), получим уравнения

Из этих уравнений будем иметь:

Подставляя найденные значения всех постоянных в (7.11), получим решения рассматриваемой задачи для функции тока и скоростей в виде

Так как оператор Стокса от функции тока равен

то из уравнения (7.3) будем иметь:

Следовательно, для давления будет иметь место следующая формула:

Для определения результирующего сопротивления жидкости движению шара обратимся к общим формулам, установленным в . В рассматриваемом нами случае интегральная формула для проекции результирующего воздействия жидкости на шар представится в виде

где w — составляющая вектора скорости, параллельная оси симметрии. Для этой составляющей скорости и её производной по радиусу R будем иметь:

Учитывая граничные условия (7.6), получим:

На основании выражения (7.12) для функции тока будем иметь:

Следовательно,

Подинтегральное выражение (7.14) при использовании выражения для давления (7.13) и для производной от осевой компоненты скорости (7.15) можно представить в виде

Результирующая от постоянного давления по замкнутой поверх ности будет равна нулю, т. е.

поэтому, подставляя выражение (7.16) в (7.14) и учитывая, что

получим:

Равенство (7.17) представляет собой формулу Стокса для сопротивления шара при его движении в неограниченной вязкой жидкости. Согласно этой формуле сопротивление движению шара пропорционально коэффициенту вязкости, радиусу шара и скорости движения в первой степени. Формула Стокса (7.17) для сопротивления шара получена при условии отбрасывания в уравнениях движения вязкой несжимаемой жидкости квадратичных членов инерции, поэтому она может считаться справедливой только при сравнительно малых значениях чисел Рейнольдса. Тем не менее, эта формула находит себе широкое применение. В частности, она широко используется в коллоидной химии, в молекулярной физике и метеорологии. Пользуясь этой формулой, можно определять скорость осаждения мелких капель тумана, коллоидных частиц, частиц ила и прочих мелких частиц. Приравнивая силу сопротивления шара (7.17) равнодействующей сил от гидростатического давления (архимедовой силе), получим следующую формулу для предельной скорости падения шарика малых размеров в вязкой жидкости:

где представляет собой плотность вещества шарика, плотность рассматриваемой жидкости.

Формула Стокса используется также и для определения коэффициента вязкости сильно вязких жидкостей Вискозиметр, основанный на принципепадения тяжёлого шарика, состоит из трубки с делениями. Время падения шарика от одного фиксированного деления трубки до другого определяется секундомером. Найденное таким способом значение скорости можно подставить в формулу (7.18) и определить соответственное значение коэффициента вязкости. При более точном определении коэффициента вязкости на этом приборе необходимо учесть поправки на радиус трубки и на нестационарность движения шарика в жидкости.

Если в рассматриваемой выше задаче о движении шара в неограниченной жидкости обратим движение, т. е. на всю жидкость и на шар наложим поступательное движение в направлении, обратном движению шара, функция тока которого представляется в виде

то, складывая функцию с функцией (7.12), получим решение задачи об обтекании неподвижного шара неограниченным потоком вязкой жидкости:

Примерный вид линий тока, отвечающих функции тока (7.20) относительного движения жидкости, показан на рис. 47. Линии тока, отвечающие абсолютному движению жидкости, представляемому функцией тока (7.12), показаны на рис. 48.

Рис. 47.

Рис. 48.

Благодаря наличию в формулах (7.12) и (7.20) для функции тока выражения имеет место симметрия линий тока по отношению к диаметральной плоскости, перпендикулярной к основной скорости движения.

Подставляя в выражение (7.20) для функции тока

получим функцию тока в цилиндрических координатах

Используя соотношения (12.1) главы IV, получим выражения для компонент скорости в цилиндрических координатах

На основании полученных решений (7.20) можно произвести сравнительную оценку порядка величин отбрасываемых квадратичных членов инерции по отношению к тем слагаемым, которые были сохранены в уравнениях движения. Так, например, в дифференциальном уравнении, отвечающем сферическому радиусу R, было отброшено

слагаемое которое на основании (7.20) будет представляться в виде

В этом же уравнении было сохранено слагаемое обусловленное вязкостью, которое на основании (7.3) и (7.13) будет равно

Составляя отношение модулей левых и правых частей (7.23) и (7.24), получим:

На основании полученного равенства (7.25) мы заключаем, что даже при

порядок отбрасываемых квадратичных членов инерции мал по сравнению с сохранёнными членами в уравнениях Стокса не во всех точках области, занятой жидкостью. Вблизи поверхности сферы выражение в скобке (7.25) обращается в нуль, и поэтому отбрасывание квадратичных членов инерции в уравнениях движения до некоторой степени приближения может считаться справедливым, но на значительных расстояниях от сферы отбрасывание квадратичных членов с точки зрения проведённой оценки (7.25) нельзя считать вполне законным. Обратим внимание на то, что высказанные заключения о возможности отбрасывания квадратичных членов инерции основаны на сравнительной оценке порядка лишь отдельных слагаемых, вычисленных после решения приближённых уравнений Стокса. Поэтому эти заключения нельзя рассматривать как абсолютный критерий применимости приближённых уравнений Стокса. Критерием возможности использования приближённых уравнений Стокса могут служить только результаты эксперимента, результаты сравнения вычисленных значений, например силы сопротивления шара, с результатами непосредственного её измерения. На основании многочисленных экспериментов установлено, что формула Стокса (7.17) может считаться законной для чисел Рейнольдса, меньших половины.