§ 4. Пограничный слой при обтекании выпуклого контура

В качестве примера применения метода интегральных соотношений рассмотрим обтекание плоско-параллельным безграничным потоком несжимаемой жидкости выпуклого контура (рис. 71). В передней части рассматриваемого контура будет образовываться пограничный слой. Скорость частиц жидкости на внешней границе этого пограничного слоя будем считать известной функцией криволинейной координаты х, отсчитываемой от передней критической точки вдоль верхней части дуги

Интегральное соотношение (3.6) после использования (3.12) представится в виде

Введём новое независимое переменное, полагая

и будем считать, что распределение основной компоненты скорости и по толщине пограничного слоя представляется функцией, зависящей только от одной независимой переменной , т. е.

Используя предположения (4.2) и (4.3), интегральное соотношение (4.1) можно представить в виде

    (4-4)

Рис. 71.

Как уже было сказано выше, вид функции (4.3) в некоторой мере должен задаваться заранее и лишь отдельные коэффициенты конкретного выражения этой функции должны определяться из граничных условий. Основные граничные условия, выражающие собой условие прилипания частиц к стенке, условие непрерывного перехода значений основной компоненты скорости через верхнюю границу слоя и условие отсутствия силы вязкости на этой границе слоя, имеют вид

Если иметь в виду предположения (4.2) и (4.3), то эти граничные условия можно представить следующим образом:

К основным граничным условиям (4.5) присоединим одно дополнительное условие (3.8), используя (3.12) и (4.3):

Наличие четырёх граничных условий (4.5) и (4.6) позволяет использовать для распределения скоростей в пограничном слое

функцию, содержащую четыре неизвестных коэффициента. Если, например, эту функцию брать в виде многочлена, то наиболее простым из них будет многочлен третьей степени, т. е.

Определяя коэффициенты многочлена из граничных условий (4.5) и (4.6), получим:

Используя выражения (4.8), будем иметь:

где представляет собой безразмерный параметр, равный

Определяя силу вязкости на стенке по формуле Ньютона и используя (4.2), (4.3), (4.9) и (4.10), получим:

В § 1 было указано, что точка отрыва пограничного слоя определяется из условия обращения в нуль силы вязкости на стенке. Полагая правую часть (4.11) нулю, найдём:

В случае обтекания эллиптического цилиндра экспериментально установлено, что положение точки отрыва определяется равенством

Таким образом, полученный результат (4.12) достаточно близок к экспериментальному.

Для определения изменения толщины слоя необходимо обратиться к интегральному соотношению (4.4), которое при использовании обозначения (4.10) представится в виде

Для коэффициентов полученного уравнения (4.14) из (4.9) будем иметь:

Вводя новое зависимое переменное

получим следующее дифференциальное уравнение:

При заданной функции изменения скорости внешнего потока вдоль рассматриваемого контура дифференциальное уравнение (4.17) можно решать только либо графически, либо численным методом.

Если положить параметр X равным нулю, то получим случай пограничного слоя на пластинке, разобранный в § 2. Для этого случая из (4.17) будем иметь:

Проводя интегрирование и определяя постоянное интегрирования из условия обращения в нуль толщины слоя у переднего края пластинки, получим:

Сопоставляя правую часть (4.18) с правой частью (2.19), мы видим, что различие в числовом коэффициенте имеет порядок

Рассмотренный пример использования интегральных соотношений является наиболее простым по своей схеме, однако доведение до конца интегрирования уравнения (4.17), хотя бы и численным методом, связано с большими трудностями благодаря тому, что правая

часть этого уравнения имеет особую точку при Кроме того, этот метод заведомо неприменим к пограничному слою при замедленном течении жидкости во внешнем потоке. В ряде статей предложены другие методы использования интегральных соотношений. Из этих методов наиболее простым и широким по охвату различных случаев является метод Н. Е. Кочина и Л. Г. Лойцянского.