§ 2. Приближённые уравнения Рейнольдса для смагочного слоя

Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в тонком слое между приблизительно параллельными поверхностями, радиусы кривизн которых достаточно велики по сравнению со средней толщиной слоя (рис. 52). Пренебрегая кривизной первой поверхности, обозначим: через х криволинейную координату, отсчитываемую вдоль первой поверхности в направлении скорости точек этой поверхности, через z криволинейную координату, отсчитываемую также вдоль этой поверхности, но в направлении, перпендикулярном к указанной скорости и через у координату, отсчитываемую по нормали к рассматриваемой поверхности.

Рис. 52.

Проекции вектора скорости точек второй поверхности на касательную и на нормаль к этой поверхности обозначим через . Чтобы средняя толщина слоя оставалась малой во всё время движения, необходимо положить поперечную скорость весьма малой по сравнению со скоростью Обозначим отношение этих двух скоростей через , т. е.

Пусть обозначает среднее значение радиусов кривизн раасматриваемых поверхностей. На основании указанного выше предположения толщина слоя должна считаться малой по сравнению со средним радиусом кривизн I. Отношение этих величин также обозначим через :

Если предполагать движение вязкой несжимаемой жидкости» установившимся и пренебрегать действием массовых сил, то дифференциальные уравнения переноса количества движения (2.13) главы II

в проекциях на введённые прямолинейные оси координат представятся в виде

К этим уравнениям присоединим уравнение несжимаемости

и соотношения, выражающие обобщённую гипотезу Ньютона:

Вместо размерных координат и скоростей введём безразмерные с учётом того, что порядок координаты и скорости в направлении нормали к первой поверхности мал по сравнению с порядком координат w скоростей в других направлениях:

Подставляя эти выражения координат и скоростей в уравнение (2.4) несжимаемости, получим:

Если предполагать, что все слагаемые в полученном уравнении несжимаемости будут иметь один и тот же порядок величины, то необходимо положить:

Полученное равенство оправдывает наше предположение (2.2) о том, что порядок отношения скоростей совпадает с порядком отношения толщины слоя к величине среднего радиуса кривизны рассматриваемых поверхностей.

Характерное число Рейнольдса введём следующим образом:

При рассмотрении движения вязкой несжимаемой жидкости между параллельными стенками в § 3 главы IV было установлено, что средняя скорость частиц жидкости прямо пропорциональна перепаду давления и квадрату расстояния между стенками и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости. Следовательно, величина самого давления будет находиться в обратной зависимости от квадрата толщины слоя жидкости между стенками. Чтобы это учесть, заменим размерное давление через безразмерное следующим образом:

Соотношения (2.5), выражающие обобщенную гипотезу Ньютона, в безразмерных величинах будут представляться в виде

Подставляя в уравнения движения (2.3) значения координат и скоростей (2.6) и напряжений (2.10), получим:

Полученные дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в тонком слое содержат два безразмерных параметра и R. Параметр , представляющий собой отношение толщины слоя к среднему радиусу кривизны поверхностей, считается заведомо малой величиной, a R может и не быть малой.

Теперь примем, что число Рейнольдса по своему порядку обратно пропорционально значению параметра в первой степени, т. е.

При этом предположении сохраним в соотношениях (2.10) и в уравнениях (2.11) лишь слагаемые, имеющие наибольший порядок величины. Тогда соотношения, выражающие гипотезу Ньютона, представятся в виде

На основании полученных равенств (2.13) заключаем, что в тонком смазочном слое наибольшим по своему порядку напряжением будет напряжение давления. Из касательных напряжений наибольшими по своему порядку будут те компоненты напряжений, которые развиваются на площадках, перпендикулярных к оси у, т. е. на площадках, приблизительно параллельных ограничивающим поверхностям.

Дифференциальные уравнения (2.11) при использовании (2.12) и сохранении слагаемых, не содержащих в качестве множителя параметр s, принимают следующий вид:

На основании второго уравнения (2.14) мы заключаем, что в тонком смазочном слое давление не изменяется по толщине слоя.

Возвращаясь в соотношениях (2.13) и уравнениях (2.14) к размерным величинам и присоединяя к ним уравнение несжимаемости,

получим:

Полученные дифференциальные уравнения (2.16) носят название дифференциальных уравнений Рейнольдса для смазочного слоя. Сопоставляя эти уравнения с полными дифференциальными уравнениями установившегося движения несжимаемой вязкой жидкости, мы видим, что для перехода от полных уравнений к уравнениям (2.16) должны быть отброшены не только все квадратичные члены инерции, но и часть слагаемых, обусловленных вязкостью. Таким образом, даффе» ренциальные уравнения Рейнольдса совершенно не учитывают квадратичных членов инерции и лишь частично учитывают слагаемые от вязкости.

Дифференциальные уравнения (2.11) при подстановке (2.12) будут содержать только один малый параметр е. Решения этой системы дифференциальных уравнений можно представить в виде рядов по степеням этого параметра. Тогда эта система уравнений вместе с уравнением несжимаемости разобьётся на последовательность отдельных систем уравнений. Первой системой этой последовательности будут уравнения Рейнольдса (2.14), второй же системой будут те уравнения, которые были использованы Л. С. Лейбензоном для вычисления первой поправки на учёт квадратичных членов инерции.