§ 3. Дифференциальные уравнения движения среды в напряжениях

Левую часть уравнения (2.10) можно представить в виде

Выражение в фигурных скобках представляет собой левую часть уравнения неразрывности (1.7), т. е. оно обращается в нуль. Следовательно, уравнение (2.10) можно представить следующим образом:

Уравнение (3.1) есть дифференциальное уравнение движения сплошной среды в векторной форме в криволинейных ортогональных координатах, представленное через напряжения. Это уравнение можно получить и иным путём, применяя закон Ньютона к фиксированной массе внутри параллелепипеда с рёбрами

Левая часть уравнения (3.1) представляет собой вектор ускорения, т. е. изменение вектора скорости фиксированной частицы с постоянной массой. Первое слагаемое левой части представляет собой лишь местное (локальное) изменение вектора скорости, а остальные три слагаемых — конвективное изменение вектора скорости частицы с постоянной массой, связанное с переходом этой частицы из одного положения в пространстве в другое. Сумма всех слагаемых представляет собой индивидуальную производную от вектора скорости фиксированной частицы с постоянной массой. Аналогично будет выражаться индивидуальная производная от любой другой величины, связанной с фиксированной частицей постоянной массы. Так, например,

индивидуальная производная от температуры фиксированной частицы постоянной массы будет представляться в виде

Заметим, что уравнение, выражающее закон Ньютона для фиксированной частицы с постоянной массой, мы получили из уравнения (2.10). Если исходить из уравнения (3.1), выражающего закон Ньютона, то, прибавляя к левой части произведение вектора скорости V на левую часть уравнения неразрывности (1.7), мы получим уравнение , выражающее изменение количества движения в фиксированной точке пространства. Следовательно, используемая в § 2 теорема об изменении вектора количества движения в фиксированном элементарном параллелепипеде для случая среды частиц с постоянными массами полностью эквивалентна закону Ньютона. Однако приводимая в § 2 формулировка теоремы об изменении количества движения имеет преимущество по сравнению с обычной формулировкой закона Ньютона. Это преимущество заключается не только в том, что для вывода уравнения (2.10) не потребовалось понятия ускорения фиксированной частицы, но и в том, что рассуждения по выводу уравнения (2.10) оказались весьма простыми и сходными с рассуждениями по выводу уравнения (1.7) изменения масс. Следовательно, способ Эйлера изучения движения только в окрестности фиксированной точки пространства проведён последовательно не только при выводе уравнения неразрывности, но и при выводе основного уравнения движения среды.

Входящие в уравнение (3.1) векторы можно представить в виде суммы произведений проекций этих векторов на касательные к координатным линиям на единичные векторы этих касательных т. е.

При подстановке этих выражений (3.2) в уравнение (3.1) следует учитывать, что единичные векторы меняют своё направление. Подсчёт частных производных от единичных векторов по координатам проведём для частных случаев.

Для случая обычных декартовых координат будем иметь:

Следовательно, уравнение (3.1) в проекциях на декартовы оси координат представится в виде

Возьмём теперь случай цилиндрических координат. Для этого случая будем иметь (рис. 19)

Рис. 19.

Из единичных векторов последний будет постоянным, а первые два будут меняться по углу 9. Из теоретической механики известно, что

В данном случае вектор угловой скорости поворота направлен по оси Z и по величине равен т. е.

а поэтому будем иметь:

Учитывая эти равенства, получим:

Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3.2), (3.4) и (3.6) и собирая коэффициенты слева и справа при одинаковых единичных векторах, получим следующие дифференциальные уравнения движения сплошной среды в цилиндрических координатах в компонентах напряжений:

Рис. 20.

Возьмём теперь случай сферических координат (рис. 20). Для этого случая будем иметь:

В данном случае единичные векторы изменяют своё направление при переходе из одной точки в другую, если этот переход связан с изменением двух координат b и Вектор угловой скорости поворота с изменением угла будет направлен по касательной к координатной линии , т. е.

Вектор же угловой скорости поворота с изменением угла о будет направлен по оси Z, и поэтому будем иметь:

Учитывая эти равенства и равенства для производных от единичных векторов по времени, получим:

На основании этих равенств будем иметь:

Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3.2), (3.8) и (3.10) и приравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах слева и справа, получим следующие дифференциальные уравнения движения сплошной среды в сферических координатах в компонентах

напряжений: