§ 2. Плоско-параллельное установившееся движение вязкой жидкости

Считая вязкую жидкость несжимаемой

движение установившимся

и плоско-параллельным

и пренебрегая действием массовых сил

и квадратичными членами инерции по Стоксу, получим из (1.4) следующие уравнения:

Введём функцию тока, полагая

Тогда величина вихря представится в виде

Первые два уравнения (2.1) примут следующий вид:

Уравнения (2.2) представляют собой соотношения Коши — Римана, следовательно, давление и произведение вязкости на удвоенное значение вихря с обратным знаком представляет собой действительную и [мнимую часть некоторой функции комплексного переменного z, т. е.

Исключая из равенства (2.2) давление, получим для функции тока бигармоническое уравнение

Таким образом, задача изучения плоско-параллельного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости при отбрасывании квадратичных членов инерции приводится к решению бигармонического уравнения (2.4) для функции тока.

Известно, что всякую бигармоническую функцию от двух переменных можно представить при помощи двух функций комплексного переменного в виде

где черта сверху над независимым переменным z и функциями Ф и у означает сопряжение, т. е. в первом случае замену i через в выражении самого переменного z, а во втором случае в коэффициентах отдельных слагаемых этих функций. Дифференцируя левые и правые части по х ну, получим:

Умножая первое равенство на складывая со вторым, получим следующее выражение для скорости в комплексной форме:

Для вторых производных от функции тока будем иметь:

Складывая эти выражения, получим для вихря со следующее равенство:

На основании (2.3) давление представляет собой гармоническую функцию, сопряжённую с гармонической функцией поэтому

где — постоянная величина. При этом будем иметь:

В § 4 главы III были установлены формулы для результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на поступательно движущееся в ней тело. Проекции главного вектора результирующего воздействия на плоский контур при его поступательном движении будут представляться в виде

где

— направляющие косинусы нормали, внешней к контуру f. Умножая второе равенство (2.10) на I, складывая с первым и заменяя их выражениями, получим:

Так как

то для слагаемых, входящих под знак интеграла (2,11), получим:

Таким образом, вектор результирующего воздействия в комплексной форме на плоский контур представится в виде

Если контур "f будет замкнутым, то первое слагаемое, содержащее интеграл от обратится в нуль. Так как проекции скорости должны представлять собой однозначные функции, то и последнее слагаемое также должно обратиться в нуль. Следовательно, при поступательном движении плоского замкнутого контура в вязкой несжимаемой жидкости при условии прилипания частиц к контуру и при отбрасывании квадратичных членов инерции главный вектор результирующего воздействия в комплексной форме будет представляться окончательно в виде

Для подсчёта результирующего воздействия на плоский контур согласно (2.13) надо лишь подсчитать приращение функции комплексного переменного при полном обходе рассматриваемого контура. Таким образом, результирующее воздействие на плоский замкнутый контурпри его поступательном движении будет только тогда отлично от нуля, когда функция неоднозначна.

Формула (2.13) может быть получена с помощью простых преобразований на основании (4.25) главы III.