§ 4. Задача об обтекании цилиндра

В § 3 главы V было показано, что задача об установившемся движении круглого цилиндра в безграничной жидкости на основании уравнений Стокса не может быть решена. Для уравнений же Озеена, в которых квадратичные члены инерции учтены частично, решение этой задачи становится возможным.

Допустим, что в безграничном потоке вязкой несжимаемой жидкости помещён неподвижный круглый цилиндр радиуса а (рис. 64).

Граничные условия прилипания жидкости к поверхности цилиндра и условия на бесконечности будут представляться в виде

Так как вектор скорости частиц жидкости на основании равенств (2.12) равен

и единичный вектор i оси будет составлять с направлением угол b, то при переходе к полярным координатам и b получим:

Рис. 64.

Функция будет удовлетворять уравнению Лапласа на плоскости

а функция будет представляться в виде

где множитель Y будет удовлетворять уравнению Гельмгольца

Проектируя подинтегральное выражение (2.18) на ось х, получим:

Следовательно, формула (2.18) для сопротивления цилиндра примет вид

Основное решение уравнения Лапласа (4.4), представляющее потенциал скоростей источника в начале координат, имеет вид

Дифференцируя это решение (4.8) по х и суммируя полученные таким способом новые частные решения, получим для функции следующий ряд:

Так как

то ряд (4.9) для функции можно представить в виде

Подставляя значение из (4.10) в (4.7), получим:

Таким образом, сопротивление круглого цилиндра будет зависеть от одного коэффициента, представляющего собой мощность источника (4.8), и будет представляться в виде

Для функции Y, зависящей только от полярного радиуса , дифференциальное уравнение (4.6) примет вид

Общее решение уравнения (4.12) представляется через функции Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента в виде

С возрастанием аргумента функция Бесселя неограниченно растёт, поэтому необходимо положить:

Таким образом, функция источника в начале координат на плоскости для уравнения (4.6) будет представлять собой функцию Макдональда нулевого порядка, т. е.

Дифференцируя эту функцию источника по х суммируя результаты после умножения на постоянные коэффициенты и множитель , получим следующий ряд для функции у:

Граничным условиям (4.1) прилипания будем удовлетворять приближённо. Для этого в выражении (4.14) для у, считая, что первые два коэффициента имеют порядки величин

сохраним слагаемые, имеющие порядок величины k в первой степени. Так как для малых значений аргумента функция Макдональда нулевого порядка и первая производная представляются в виде

    (4-15)

где f — постоянная, равная 1,7811, то приближенное значение функции у будет равно

Вычисляя по формулам (4.3) компоненты скоростей с точностью до величин порядка единицы и отбрасывая величины порядка получим:

Полагаем в правых частях (4.17) и приравниваем левые части нулю. Приравнивая отдельно нулю коэффициенты при степенях ,

получим следующие уравнения:

Решая эти уравнения, будем иметь:

Таким образом, при рассматриваемой степени приближения определяются только первые два коэффициента два же других определяются лишь в своей линейной комбинации.

Подставляя найденное значение коэффициента из (4.12) в (4.11), получим следующую формулу для силы воздействия вязкой жидкости на неподвижный круглый цилиндр:

где R — число Рейнольдса, равное

Формула (4.20) для сопротивления цилиндра была впервые установлена в работе Ламба. Уточнение формулы сопротивления круглого цилиндра, получаемой на основе использования уравнений Озеена, было дано в работах Факсена и Томотика. В последней работе указывается, что удовлетворительное согласование результатов расчёта

по уточнённой формуле сопротивления круглого цилиндра с экспериментальными измерениями имеет место лишь до числа Рейнольдса, равного 10.

Если подставить найденные значения коэффициентов (4.19) в (4.17), то получим следующие приближённые формулы для скоростей частиц жидкости вблизи поверхности самого цилиндра:

Жидкости и цилиндру сообщим теперь поступательное движение в направлении, обратном движению цилиндра, и сохраним в выражениях (4.9) и (4.14) лишь слагаемые, содержащие т. е.

Компоненты скоростей будут тогда представляться в виде

Для больших значений аргумента имеют место следующие асимптотические формулы для функций Макдональда:

Следовательно, на далёких расстояниях от цилиндра скорости частиц жидкости будут определяться по следующим приближённым формулам:

Впереди цилиндра, где угол мало отличается от , движение частиц жидкости на далёких расстояниях будет радиальным, происходящим от источника в центре цилиндра с мощностью

При этом величина радиальной скорости будет убывать обратно пропорционально расстоянию от центра цилиндра:

Позади же цилиндра в области, где угол близок к нулю, движение частиц на далёких расстояниях хотя и будет также радиальным, но с направлением скоростей в сторону движения цилиндра, и величина радиальной скорости будет убывать обратно пропорционально квадратному корню из расстояния от центра цилиндра:

Таким образом, порядок убывания скоростей частиц жидкости с увеличением расстояния позади цилиндра меньше, чем впереди. Тот же самый вывод можно сделать - и по отношению к порядку убывания интенсивности вихря. В самом деле, интенсивность вихря, определяемая по формуле

на основании (4.23) будет представляться в виде

На больших расстояниях от цилиндра будем иметь:

Следовательно, в области впереди цилиндра, где , интенсивность вихря убывает быстрее, чем по закону показательной функции

тогда как позади цилиндра интенсивность вихря убывает лишь по закону квадратного корня из расстояния

Таким образом, при решении задачи об обтекании круглого цилиндра на Основании уравнений Озеена обнаруживается резкое различие течений впереди и позади цилиндра.