§ 9. Вращение сферы, наполненной жидкостью

В предшествующих параграфах данной главы рассматривались те случаи неустановившихся движений вязкой несжимаемой жидкости, для которых дифференциальные уравнения движения использовались в их точном виде. Для этих случаев квадратичные члены инерции выпадали из левых частей уравнений автоматически благодаря тому, что движение частиц предполагалось либо прямолинейно-параллельным, либо круговым.

При всяком другом характере движений частиц вязкой жидкости решение задач о неустановившемся движении благодаря наличию в уравнениях нелинейных слагаемых становится весьма затруднительным. Но если пренебрегать квадратичными членами инерции так же, как это было сделано в методе Стокса для задач об установившемся движении в главе V, то задачи о неустановившемся движении частиц вязкой жидкости во всех случаях становятся линейными, и к решению этих задач можно применять тот же метод преобразования Лапласа, с помощью которого решались задачи в предшествующих параграфах.

Если 1) пренебрегать квадратичными членами инерции, 2) не учитывать массовых сил и 3) считать, что давление и все компоненты вектора скорости не зависят от угла цилиндрических координат, то дифференциальное уравнение (6.7) главы II для поперечной компоненты скорости принимает следующий вид:

Таким образом, для поперечной компоненты скорости при указанных выше предположениях имеет место самостоятельное линейное уравнение, не содержащее давления и других компонент вектора скорости. Следовательно, если для какой-либо задачи граничные условия будут включать только поперечную скорость и, быть может, её производные по координатам, то такую задачу можно решать с помощью уравнения (9.1) независимо как от вида границ, так и от тех или иных предположений по отношению к другим компонентам вектора скорости частиц жидкости. В качестве примера рассмотрим с помощью дефференциального уравнения (9.1)

задачу о вращении сферы, наполненной вязкой несжимаемой жидкостью.

Пусть сфера радиуса а (рис. 88), наполненная вязкой несжимаемой жидкостью, с момента начала вращаться вокруг оси z с постоянной угловой скоростью со. В этом случае для поперечной скорости будут иметь место следующие граничные условия прилипания и начальное условие:

где — угол между осью z и радиусом, проведённым из центра сферы к рассматриваемой точке на её поверхности.

Рис. 88.

Для решения данной задачи применим метод преобразования Лапласа. Вводя обозначение

и проводя преобразование Лапласа над уравнением (9.1) и граничным условием (9.2), мы приходим к следующей задаче для изображения

Перейдём теперь к сферическим координатам R и . Оператор Лапласа от скорости в предположении, что эта скорость не зависит от угла представляется в виде

Полагая

получим из (9.4) и (9.5) для множителя v обыкновенное дифференциальное уравнение и простое граничное условие

С помощью подстановки

дифференциальное уравнение (9.7) приводится к уравнению Бесселя

Общее решение уравнения (9.8) представляется через функции Бесселя дробного порядка от мнимого аргумента в виде

Так как функция обращается при т. е. в центре сферы, в бесконечность, то постоянную В необходимо положить равной нулю. Определяя постоянную А из граничного условия (9.7), получим:

Таким образом, решение задачи (9.4) для изображения поперечной скорости будет:

Переходя от изображения (9.10) к оригиналу, получим поперечную скорость

Особенности подинтегральной функции (9.11) будут совпадать с корнями функции Бесселя от мнимого аргумента

Корни этой функции будут чисто мнимыми. Они будут связаны с действительными корнями функции Бесселя

соотношением

Функция Бесселя выражается через элементарные тригонометрические функции в виде

Поэтому корни уравнения (9.12) будут совпадать с корнями простого трансцендентного уравнения

Используя разложение мероморфной функции, будем иметь:

где коэффициенты представляются в виде

Подставляя разложение (9.16) в (9.11) и используя соответственные значения интегралов и выражения для коэффициентов (9.17), получим для поперечной скорости частиц жидкости внутри вращающейся сферы окончательное выражение

Из полученной формулы (9.18) следует, что с возрастанием времени скорость частиц жидкости приближается к предельному своему значению, равному скорости частиц твёрдого шара при его вращении вокруг неподвижной оси.

Определим по формулам (6.9) главы II ту часть силы вязкости на поверхности самой сферы, которая отвечает одной лишь поперечной скорости Имеем:

Вычисляя на основании (9.18) производную от скорости по радиусу и используя граничное значение этой скорости, получим:

Следовательно, сила вязкости на поверхности сферы будет представляться в виде

Умножая левую и правую части (9.20) на элемент поверхности сферы и на расстояние до оси вращения и интегрируя по всей поверхности сферы, получим следующее выражение для момента сил вязкости относительно оси вращения:

    (9.21)

Чтобы осуществить вращение сферы, наполненной вязкой несжимаемой жидкостью, с постоянной угловой скоростью, необходимо приложить переменный момент, равный правой части (9.21).

Сопоставляя выражение (9.21) для момента сил вязкости частиц жидкости, наполняющей сферу, с выражением (6.16) для момента сил вязкости частиц жидкости, наполняющей круглый цилиндр, мы видим много общего в этих выражениях. Для случая цилиндра радиус входит во второй степени, но в качестве третьего линейного измерения входит длина цилиндра, которая в формуле (6.16) равна единице. Различие имеется только в отношении числовых множителей и в значениях корней соответственных функций Бесселя.