§ 8. Замечания об общей задаче гидродинамики вязкой жидкости
С математической точки зрения общая задача гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению следующей совместной системы четырёх дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка:
При этом искомое давление должно быть непрерывным, конечным и положительным, а искомые скорости должны быть также, вообще говоря, непрерывны и ограничены. На неподвижных стенках искомые скорости должны обращаться в нуль:
на подвижных стенках эти скорости должны совпадать со скоростями точек стенок:
а на свободных границах нормальная составляющая напряжения должна быть равна постоянному давлению, а касательная составляющая должна обращаться в нуль, т. е.
При неустановившемся движении искомые скорости должны к тому же удовлетворять и начальным условиям:
Вопрос о существовании решений системы дифференциальных уравнений (8.1) при граничных и начальных условиях (8.2), (8.3), (8.4) и (8.5) в своей общей форме до сих пор не разрешён. В таком же состоянии находится и общий вопрос о единственности возможных решений этой системы уравнений.
Основное затруднение как в общем исследовании вопросов о существовании и единственности решений уравнений (8.1), так и в фактическом построении решений этих уравнений для конкретных простейших случаев движения вязкой жидкости заключается в наличии в левых частях первых трёх уравнений нелинейных слагаемых, так называемых квадратичных членов инерции. Квадратичные члены инерции имеют место и в дифференциальных уравнениях движения идеальной жидкости, которые мы получим из (8.1) путём зачёркивания в правых частях слагаемых, содержащих в качестве множителя кинематический коэффициент вязкости. Эти нелинейные слагаемые и в этом случае весьма затрудняют проведение общих исследований о существовании и единственности решений уравнений, и, например, в большой монографии Н. М. Гюнтера такого рода исследование о существовании решения проведено лишь для случая движения несжимаемой жидкости в безграничном пространстве без каких-либо границ и при условии, что силы имеют силовую функцию. Но всё же для случая идеальной жидкости возможности фактического построения решений уравнений движения для отдельных случаев весьма широки и не идут в сравнение с возможностями фактического построения решений уравнений движения вязкой жидкости. Такое положение следует объяснить прежде всего тем, что для случая идеальной жидкости затруднения, вызываемые наличием квадратичных членов инерции, немедленно отпадают при предположении существования потенциала скоростей. При предположении существования потенциала скоростей задача о движении идеальной и несжимаемой
жидкости во многих случаях становится линейной, благодаря чему предоставляется возможным получать новые, более сложные течения с помощью линейной комбинации простейших течений, отвечающих частным решениям дифференциального уравнения Лапласа. Для вязкой же жидкости предположение о наличии потенциала скоростей, как это будет показано ниже, становится совершенно невозможным. Вследствие этого всякая конкретная задача о движении вязкой несжимаемой жидкости почти всегда нелинейна. Благодаря этому новые случаи течения вязкой несжимаемой жидкости нельзя получать с помощью простого наложения уже известных течений.
Общего метода построения решений нелинейных дифференциальных уравнений (8.1) не существует. По этой причине при изучении отдельных движений вязкой жидкости приходится идти двумя путями: 1) либо заранее задавать виды траекторий всех отдельных частиц жидкости и устанавливать отвечающие этим траекториям частные решения уравнений (8.1), 2) либо прибегать к приближённым методам, позволяющим в той или иной мере упрощать уравнения (8.1) и приспосабливать их к характеру отдельных типов конкретных задач. Поскольку задавать заранее траектории всех частиц в конкретном виде можно лишь в ограниченном числе случаев, постольку первый указанный путь использования уравнений (8.1) по своим возможностям весьма ограничен. Что же касается второго пути — пути использования всякого рода упрощений самих уравнений, то возможности его весьма широки. Большинство конкретных задач о движении вязкой жидкости, имеющих тот или иной практический интерес, решено именно на основании приближённых уравнений движения вязкой жидкости, получаемых из полных уравнений (8.1) с помощью отдельных упрощений. По этой причине при дальнейшем изложении основное внимание будет уделено приближённым методам интегрирования дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости.
