§ 4. Прямолинейно-параллельное движение вязкой жидкости при наличии свободной границы

Рассмотрим установившееся прямолинейно-параллельное течение вязкой несжимаемой жидкости при наличии одной твёрдой плоской стенки и одной свободной границы. Так как на свободной границе ((7.10) гл. II) давление должно быть постоянным, то вдоль этой границы оно не будет зависеть от х, т. е.

Следовательно, в этом случае перепада давления вдоль течения не может быть, и само течение может иметь место только при наличии наклона твёрдой стенки к горизонту, т. е. под действием силы тяжести. Так как давление, строго говоря, нельзя в рассматриваемом случае представить в виде суммы (1.5), то для решения задачи следует обратиться непосредственно к уравнениям (1.4).

Рис. 28.

Обозначим угол наклона твёрдой стенки (дна) к горизонту через а и выберем ось х параллельно направлению стенки (рис. 28). Так как проекция, силы веса единицы массы на ось х будет равна

то первое уравнение (1.4) при учёте (4.1) и при предположении, что скорость и не зависит от координаты у, представится в виде

В силу условия прилипания

и так как на свободной границе сила вязкости на единицу площади должна обращаться в нуль ((7,10) гл. II), то соответственное граничное

условие для скорости будет представляться в виде:

Общее решение дифференциального уравнения (4.2) имеет вид

На основании граничных условий (4.3) и (4.4) получим:

Таким образом, решение рассматриваемой задачи будет представляться в виде

Максимальная скорость имеет место на свободной границе

Расход Q равен

Сопоставляя полученную формулу (4.7) для расхода с формулой (3.8) для случая течения между двумя неподвижными стенками, мы заключаем, что формулу (4.7) можно получить из формулы (3.8), разделив правую её часть на два и заменив перепад динамического давления через :

Формула (4.8) получается из первого уравнения (1.6) при использовании условия (1.5). Следовательно, для рассматриваемого случая можно было задачу решать в другом порядке, а именно сначала воспользоваться уравнениями равновесия (1.6) и определить из них перепад статического давления, затем воспользоваться (1.5) и, требуя отсутствия перепада полного давления, определить соответственный перепад динамического давления. После этого взять решение задачи между двумя параллельными неподвижными стенками, заме нить в нём перепад динамического давления согласно (4.8) и рассматривать только течение между стенкой и средней линией, на которой сила вязкости обращается в нуль.

Течения жидкости со свободной поверхностью имеют место в действительности в каналах и реках. Однако к этим случаям формула (4.5) распределения скоростей по глубине не может быть применима на том основании, что в реальных условиях траектории всех частиц не будут строго прямолинейными и параллельными, т. е. течения жидкости в реках и каналах нельзя считать ламинарными.