ГЛАВА VII. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА

§ 1. Обобщённые уравнения Стокса

Векторное дифференциальное уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости можно представить в следующей форме:

Левая часть этого уравнения представляет собой индивидуальную производную от вектора скорости фиксированной частицы. До сих пор под координатами х, у, z мы разумели координаты фиксированной точки пространства по отношению к неподвижной системе координат, тогда множители, - представляли собой проекции вектора скорости абсолютного движения фиксированной частицы на оси координат.

Рис. 61.

Будем теперь под х, у, z разуметь координаты геометрической точки по отношению к подвижной системе координат, имеющей поступательное движение со скоростью U и мгновенное вращение с угловой скоростью Q (рис. 61). При таком предположении производные — будут представлять собой проекции на оси координат вектора относительной скорости фиксированной частицы жидкости. Между векторами абсо лютной (V), переносной и относительной скоростей имеется следующая зависимость:

где

Так как левую часть уравнения (1.1) можно представить в виде

где

то векторное дифференциальное уравнение абсолютного движения вязкой несжимаемой жидкости, отнесённое к подвижной системе координат, будет иметь следующий вид:

    (1.2)

Если система координат будет иметь только поступательное движение, совпадающее с поступательным движением рассматриваемого тела, то уравнение (1.2) примет вид

Предполагая число Рейнольдса малым, мы можем, так же как и в методе Стокса, отбросить квадратичные члены инерции, содержащие переменный вектор скорости V, т. е. положить:

    (1.4)

При этом предположении мы получим из (1.3) уравнение

которое было впервые предложено Озееном и по его предложению названо векторным обобщённым уравнением Стокса.

Будем предполагать, что ось х поступательно движущейся системы координат прямо противоположна направлению вектора скорости поступательного движения тела. В таком случае при проектировании левой и правой частей уравнения (1.5) на оси координат и при присоединении уравнения несжимаемости мы получим следующую систему обобщённых дифференциальных уравнений Стокса:

К установлению уравнений (1.6) можно подойти и с другой стороны. Вначале обратим движение, т. е. телу и всей жидкости сообщим поступательное движение в направлении, обратном движению тела. Для обращённого движения возьмём, например, первое уравнение (1.1) в проекциях на ось х:

Если бы не было тела, то в обращённом движении все частицы имели бы скорость U. Благодаря наличию тела произойдёт деформация потока, и частицы будут иметь уже другие скорости. Если размеры тела предполагать небольшими, то новая компонента скорости и будет отличаться от прежней U на малую величину, а две другие компоненты скорости будут вообще малыми. На этом основании в левой части (1.7) можно в слагаемом и заменить множитель и на U, а остальными слагаемыми пренебречь. Таким способом мы и получим дифференциальные уравнения (1.6).

Сопоставляя дифференциальные уравнения (1.6) с дифференциальным уравнением Стокса (1.4) главы V, мы приходим к заключению, что обобщённые уравнения Стокса, введённые Озееном, учитывают лишь частично квадратичные члены инерции.

Если первой ступенью развития приближённых методов использования дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости считать дифференциальные уравнения Стокса, а второй ступенью — дифференциальные уравнения Рейнольдса для слоя, то уравнения (1.6) Озеена следует считать уже третьей ступенью развития приближённых методов решения отдельных задач движения вязкой несжимаемой жидкости.

Свои соображения о целесообразности введения новых уравнений вида (1.6) Озеен построил на основании сравнительной оценки порядка величин отбрасываемых квадратичных членов инерции по отношению к порядку сохраняемых слагаемых от вязкости на примере решения задачи о движении шара. В конце § 7 главы V было указано, что если считать число Рейнольдса меньшим единицы, то и тогда порядок величины отбрасываемых квадратичных членов инерции не может считаться всюду малым по сравнению с порядком величины слагаемых, зависящих от вязкости. В частности, на значительных расстояниях от неподвижного шара порядок величины квадратичных членов инерции будет уже превышать порядок сохраняемых в уравнениях слагаемых, зависящих от вязкости, причём наибольшие порядки величин на бесконечном удалении от шара будут иметь как раз слагаемые и Следовательно, сохраняя в левых частях уравнений эти слагаемые в приближённой форме, мы тем самым несколько точнее оправдываем возможность отбрасывания остальных квадратичных членов инерции в бесконечно удалённых точках потока.