§ 3. Подобие течений вязкой несжимаемой жидкости

Дифференциальные уравнения (8.1) главы II движения вязкой несжимаемой жидкости преобразуем к безразмерным величинам. Для этого все входящие в эти уравнения величины выразим через величины той же размерности, но являющиеся характерными для рассматриваемого течения. Так, например, при движении жидкости в круглой цилиндрической трубе за характерный геометрический размер можно взять диаметр трубы, а за характерную скорость — среднюю скорость по течению. При обтекании жидкостью шара за характерный размер можно взять диаметр шара, за характерную скорость — скорость потока на бесконечности и за характерное давление—давление на бесконечности. Аналогично обстоит дело и в других случаях течений.

Введем следующие обозначения для характерных величин: — линейный размер, — скорость, — давление, — время, сила, приходящаяся на единицу массы. Эти характерные величины можно рассматривать как своего рода масштабы соответственных величин рассматриваемого течения. Все переменные размерные величины будут представляться в виде произведений характерных масштабов на бёзразмерные величины. Таким образом, мы будем иметь:

Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения движения вязкой и несжимаемой жидкости и разделяя первые три полученные уравнения на множитель стоящий при квадратичных членах инерции, получим следующие уравнения:

Все слагаемые в уравнениях (3.2) будут безразмерными величинами, поэтому будут безразмерными и входящие в эти уравнения множители, составленные из характерных размерных величин. Эти безразмерные множители называются характеристическими числами течений вязкой несжимаемой жидкости. Каждое из этих чисел принято называть по имени того автора, который впервые ввёл его в рассмотрение, и обозначать его начальной буквой фамилии этого автора. Число, содержащее давление, есть число Эйлера (1745 г.)

Число, содержащее ускорение силы тяжести, называется числом Фруда (1870 г.)

Число, содержащее характерное время, именуется числом Струхаля (1878 г.)

Наконец, число, содержащее кинематический коэффициент вязкости, называется числом Рейнольдса (1883 г.)

Решения дифференциальных уравнений (3.2) для безразмерных скоростей и давления будут зависеть от четырёх характеристических чисел Е, F, S и R. Следовательно, некоторые качественные особенности течений вязкой несжимаемой жидкости будут предопределяться значениями этих характеристических чисел.

Особенное значение приобретают эти характеристические числа при рассмотрении вопроса о подобии течений вязкой несжимаемой жидкости. Многие вопросы гидромеханики, необходимые для техники, решаются при помощи экспериментов с уменьшенными моделями. При проведении таких экспериментов возникает вопрос о выборе размеров моделей, значений характерных скоростей и прочих характерных величин. Возникает также вопрос о возможности перенесения результатов экспериментов на натуру. На все эти вопросы даёт ответ теория подобия течений жидкости.

Условия механического подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости включают в себя условия: а) геометрического подобия, б) кинематического подобия и в) динамического подобия. Для выполнения условий геометрического подобия двух сравниваемых течений необходимо не только подобие самих границ, но и подобие их взаимного расположения. При выполнении этого условия можно

говорить о соответственных точках рассматриваемых двух течений и соответственных отрезках, причём отношение двух любых соответственных отрезков будет равно постоянному числу, т. е.

где коэффициент геометрического подобия двух рассматриваемых течений.

При выполнении условия геометрического подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости можно говорить о кинематическом подобии этих течений. Если выбран коэффициент пересчёта времени, т. е.

то кинематическое подобие будет иметь место тогда, когда отношение проекций векторов скоростей в любых соответственных точках будет постоянным, т. е.

где - коэффициент кинематического подобия. Наконец, о динамическом подобии двух течений вязкой несжимаемой жидкости можно говорить лишь тогда, когда отношения: а) проекций векторов массовых сил, б) величин давления и в) компонент вязких напряжений в любых соответственных точках будут постоянными, т. е.

При выполнении всех условий (3.7), (3.8), (3,9), (3.10), (3.11) и (3.12) два сравниваемых течения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости будут по самому определению механически подобными.

Подставляя в равенства (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11) и (3.12) значения соответственных величин из (3.1) для первого и второго

течения вязкой и несжимаемой жидкости, получим:

Таким образом, для двух подобных течений вязкой несжимаемой жидкости все безразмерные величины длин, времени, скоростей, массовых сил и давлений будут совпадать. Как уже было указано, решения дифференциальных уравнений (3.2) для каждого течения будут зависеть от своих четырёх характеристических чисел. Следовательно, чтобы решения безразмерных уравнений (3.2), отвечающие двум подобным течениям вязкой несжимаемой жидкости, совпадали, необходимо, чтобы характеристические числа двух рассматриваемых течений были соответственно равны между собой:

Таким образом, характеристические числа играют роль необходимых критериев подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости.

Если рассматривать установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости, то первый критерий подобия — равенство чисел Струхаля — будет отпадать.

Если в качестве характерного давления выбрать так называемый скоростной напор, т. е. положить

то числа Эйлера для всех течений станут равными единице, и поэтому критерий Эйлера выпадет из числа необходимых критериев подобия.

Основными критериями подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости без учёта изменения температуры служат, таким образом, два критерия: критерий Фруда и критерий Рейнольдса.

Покажем, что эти два критерия подобия не могут быть совместимыми в том случае, когда в двух сравниваемых течениях фигурирует одна и та же вязкая жидкость. В самом деле, полагая кинематическую вязкость одинаковой для двух рассматриваемых течений, из равенства чисел Рейнольдса мы будем иметь:

а из равенства чисел Фруда:

Таким образом, согласно критерию (3.16) Рейнольдса переход от натуральных размеров к уменьшенным размерам моделей

должен сопровождаться увеличением характерных скоростей:

Согласно же критерию (3.17) Фруда переход от больших размеров к меньшим должен сопровождаться уменьшением характерных скоростей. Следовательно, полного подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости с одним и тем же коэффициентом вязкости, с соблюдением критериев подобия Фруда и Рейнольдса осуществить нельзя. Практически приходится в каждом конкретном случае выбирать из этих двух критериев наиболее существенный и пренебрегать другим. Число F имеет преимущественное значение в задачах, где преобладают силы тяжести, например в тех случаях, когда основным вопросом исследования служит вопрос о волновом сопротивлении модели судна, обусловленном действием силы тяжести. В случае движения вязкой жидкости без свободных границ за основной критерий подобия принимается число R. Для такого рода течений число Рейнольдса, как это далее будет показано, является основным характеристическим числом, характеризующим качественные особенности течений вязкой несжимаемой жидкости.

Так как число Рейнольдса в уравнении (3.2) было получено в результате деления множителя при квадратичных членах инерции на множитель при слагаемом, обусловленном вязкостью, то оно своим значением будет характеризовать порядок величины отношения сил инерций к силам вязкости. Это, например, будет означать, что с увеличением значения числа Рейнольдса будет увеличиваться порядок величин отношений сил инерции к силам вязкости.