Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 10. Главные напряженияРассмотрим элементарную площадку с нормалью
Обе части этого равенства спроектируем на ось
Умножая левую и правую части на единичный вектор
Рис. 13. Чтобы найти проекцию вектора напряжения
Касательное же напряжение на этой площадке будет определяться равенством
Отложим теперь вдоль нормали
Определяя отсюда
Выберем длину отрезка ОК так, чтобы
Тогда уравнение геометрического места концов отрезка, квадрат длины которого обратно пропорционален величине нормального напряжения на площадке с нормалью, совпадающей с направлением самого отрезка, будет представляться в виде
Полученная поверхность второго порядка называется поверхностью напряжений в рассматриваемой точке. Направляющие косинусы нормали к поверхности напряжений будут пропорциональны частным производным левой части (10.7) по координатам, которые будут представляться в виде
Рис. 14. Направляющие косинусы вектора напряжения Главные оси поверхности напряжений называются главными осями напряжений в рассматриваемой точке. Для площадок, перпендикулярных к главным осям напряжений, вектор напряжений будет направлен строго по нормали к этим площадкам. Таким образом, на главных площадках развиваются только одни нормальные напряжения, которые называются главными нормальными напряжениями в точке. Касательные напряжения на главных площадках обращаются в нуль. На основании соотношения (10.6) заключаем, что экстремальные значения нормальных напряжений будут находиться среди трёх главных нормальных напряжений. Обозначая главное напряжение через
Подставляя эти выражения в левую часть (10.1) вместо
Так как направляющие косинусы
Уравнением (10.10) определяются значения
где коэффициенты
Полученные выражения Если мы за оси координат возьмём направления, совпадающие с направлениями главных осей напряжений в рассматриваемой точке, то инварианты напряжений будут представляться в виде
Применяя формулу (10.2) к тому случаю, когда за оси координат выбраны направления главных осей напряжений, получим:
Возьмём теперь вторую площадку, проходящую через ту же точку и имеющую нормаль Проектируя вектор напряжения
Если же взять вектор напряжения на второй площадке с нормалью
Рис. 15. Применяя это равенство к трём взаимно перпендикулярным площадкам, нормали к которым совпадают с направлениями произвольных осей координат, получим следующие соотношения взаимности или сопряжённости касательных напряжений.
Возьмём элементарную площадку, нормаль к которой v совпадает с направлением биссектрисы угла между двумя главными направлениями напряжений, т. е. имеет следующие направляющие косинусы:
Вектор напряжении на этой площадке на основании (10.14) будет представляться в виде
Проектируя этот вектор на нормаль v, получим нормальное напряжение
Касательное же напряжение на этой площадке будет равно
Таким образом, разность двух главных нормальных напряжений равна, удвоенному касательному напряжению на той площадке, нормаль к которой является биссектрисой угла между рассматриваемыми главными осями напряжений. Касательные напряжения на площадках, нормалями к которым служат биссектрисы углов между направлениями главных осей напряжений, называются главными касательными напряжениями. Таким образом, для главных касательных напряжений будем иметь:
Девиатором напряжений, называется тензор, составленный из тензора напряжений с помощью вычитания из диагональных его членов величины среднего нормального напряжения
Первый линейный инвариант девиатора напряжений будет равен нулю. Это обстоятельство будет означать, что девиатор напряжений своим действием не может изменить объём, а может изменить лишь внешнюю форму объёма, занимаемого частицами. Второй квадратичный инвариант девиатора напряжений будет представляться в виде
Найдём результирующее касательное напряжение, т. е. то касательное напряжение, которое имеет место на площадке, нормаль к которой
На основании (10.1) проекции вектора напряжения на этой площадке будут представляться в виде
Следовательно, модуль вектора напряжения будет равен
Умножай левые
В таком случае касательное напряжение на этой площадке, вычисляемое по формуле (10.4), будет равно
С другой стороны, второй инвариант девиатора напряжений (10.2.3) будет представляться через главные напряжения следующим образом:
Следовательно, интенсивность касательных напряжений и второй инвариант девиатора напряжений будут связаны следующей зависимостью:
|
1 |
Оглавление
|