§ 10. Главные напряжения

Рассмотрим элементарную площадку с нормалью (рис. 13). Вектор напряжения на этой площадке будет представляться в виде

Обе части этого равенства спроектируем на ось тогда получим следующие выражения для проекций вектора напряжения на оси координат:

    (10.1)

Умножая левую и правую части на единичный вектор и складывая, получим вектор напряжения на площадке с нормалью в виде

Рис. 13.

Чтобы найти проекцию вектора напряжения на нормаль , необходимо каждую проекцию его умножить на косинус угла нормали с осью и сложить. Следовательно, нормальное напряжение на площадке с нормалью будет представляться в виде

Касательное же напряжение на этой площадке будет определяться равенством

Отложим теперь вдоль нормали отрезок ОК, относительные координаты конца которого обозначим через Тогда будем иметь:

Определяя отсюда и подставляя в правую часть (10.3), получим:

Выберем длину отрезка ОК так, чтобы

Тогда уравнение геометрического места концов отрезка, квадрат длины которого обратно пропорционален величине нормального напряжения на площадке с нормалью, совпадающей с направлением самого отрезка, будет представляться в виде

Полученная поверхность второго порядка называется поверхностью напряжений в рассматриваемой точке.

Направляющие косинусы нормали к поверхности напряжений будут пропорциональны частным производным левой части (10.7) по координатам, которые будут представляться в виде

Рис. 14.

Направляющие косинусы вектора напряжения будут в свою очередь пропорциональны проекциям этого вектора, представленным в виде (10.1). Сравнивая правые части (10.1) и (10.8), заключаем, что вектор напряжения на площадке с нормалью будет параллелен направлению нормали к поверхности напряжений в той точке, где нормаль пересекает поверхность напряжений (рис. 14).

Главные оси поверхности напряжений называются главными осями напряжений в рассматриваемой точке. Для площадок, перпендикулярных к главным осям напряжений, вектор напряжений будет направлен строго по нормали к этим площадкам. Таким образом, на главных площадках развиваются только одни нормальные напряжения, которые называются главными нормальными напряжениями в точке. Касательные напряжения на главных площадках обращаются в нуль.

На основании соотношения (10.6) заключаем, что экстремальные значения нормальных напряжений будут находиться среди трёх главных нормальных напряжений.

Обозначая главное напряжение через будем иметь для его проекций следующие выражения:

Подставляя эти выражения в левую часть (10.1) вместо и развёртывая сумму, получим следующую однородную систему уравнений:

Так как направляющие косинусы отличны от нуля, то определитель этой системы должен обращаться в нуль, т. е.

    (10.10)

Уравнением (10.10) определяются значения трёх главных напряжений в рассматриваемой точке. Раскрывая определитель в левой части (10.10), получим следующее кубическое уравнение:

    (10.11)

где коэффициенты представляются в виде

Полученные выражения называются инвариантами тензора напряжений на том основании, что коэффициенты уравнения (10.11) не будут изменяться при замене одной системы координат через другую с помощью поворота. Первый из этих инвариантов представляет собой сумму нормальных напряжений. Одна треть от этой суммы называется средним нормальным напряжением в точке.

Если мы за оси координат возьмём направления, совпадающие с направлениями главных осей напряжений в рассматриваемой точке, то инварианты напряжений будут представляться в виде

    (10.13)

Применяя формулу (10.2) к тому случаю, когда за оси координат выбраны направления главных осей напряжений, получим:

    (10.14)

Возьмём теперь вторую площадку, проходящую через ту же точку и имеющую нормаль с направляющими косинусами (рис. 15).

Проектируя вектор напряжения на направление нормали ко второй площадке, получим:

    (10.15)

Если же взять вектор напряжения на второй площадке с нормалью и спроектировать его на направление нормали к первой площадке, то получим то же выражение (10.15) в правой части. Таким образом, получаем теорему Коши о взаимности напряжений на двух площадках, наклонённых друг к другу под произвольным углом

    (10.16)

Рис. 15.

Применяя это равенство к трём взаимно перпендикулярным площадкам, нормали к которым совпадают с направлениями произвольных осей координат, получим следующие соотношения взаимности или сопряжённости касательных напряжений.

    (10.17)

Возьмём элементарную площадку, нормаль к которой v совпадает с направлением биссектрисы угла между двумя главными направлениями напряжений, т. е. имеет следующие направляющие косинусы:

Вектор напряжении на этой площадке на основании (10.14) будет представляться в виде

    (10.18)

Проектируя этот вектор на нормаль v, получим нормальное напряжение

    (10.19)

Касательное же напряжение на этой площадке будет равно

    (10.20)

Таким образом, разность двух главных нормальных напряжений равна, удвоенному касательному напряжению на той площадке, нормаль к которой является биссектрисой угла между рассматриваемыми главными осями напряжений. Касательные напряжения на площадках, нормалями к которым служат биссектрисы углов между направлениями

главных осей напряжений, называются главными касательными напряжениями. Таким образом, для главных касательных напряжений будем иметь:

    (10.21)

где (1), (2) и (3) обозначают направления указанных биссектрис. Так как из трёх главных нормальных напряжений одно будет иметь наименьшее значение, а другое — наибольшее значение, то разность этих двух будет представлять максимальное значение касательного напряжения в рассматриваемой точке. Иначе говоря, из трёх главных касательных напряжений одно будет представлять максимальное касательное напряжение.

Девиатором напряжений, называется тензор, составленный из тензора напряжений с помощью вычитания из диагональных его членов величины среднего нормального напряжения

    (10.22)

Первый линейный инвариант девиатора напряжений будет равен нулю. Это обстоятельство будет означать, что девиатор напряжений своим действием не может изменить объём, а может изменить лишь внешнюю форму объёма, занимаемого частицами. Второй квадратичный инвариант девиатора напряжений будет представляться в виде

    (10.23)

Найдём результирующее касательное напряжение, т. е. то касательное напряжение, которое имеет место на площадке, нормаль к которой составляет равные углы со всеми главными осями напряжений. Это результирующее касательное напряжение называется также интенсивностью касательных напряжений. Направляющие косинусы нормали к рассматриваемой площадке будут равны

На основании (10.1) проекции вектора напряжения на этой площадке будут представляться в виде

Следовательно, модуль вектора напряжения будет равен

    (10.25)

Умножай левые правые части (10.24) на направляющие косинусы нормали, т. е. на и складывая, получим величину нормального напряжения на рассматриваемой площадке в виде

    (10,26)

В таком случае касательное напряжение на этой площадке, вычисляемое по формуле (10.4), будет равно

    (10-27)

С другой стороны, второй инвариант девиатора напряжений (10.2.3) будет представляться через главные напряжения следующим образом:

    (1028)

Следовательно, интенсивность касательных напряжений и второй инвариант девиатора напряжений будут связаны следующей зависимостью:

    (10.29)