Главная > Динамика вязкой несжимаемой жидкости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. Теория Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина

В предшествующих параграфах была развита гидродинамическая теория смазки на основе тех уравнений, которые могут быть получены из общих уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости с помощью отбрасывания: 1) всех инерционных членов и 2) некоторых слагаемых, обусловленных вязкостью. Гидродинамическая теория трения в подшипниках с учётом всех слагаемых от вязкости и при отбрасывании всех инерционных членов, т. е. на основе бигармонического уравнения для функции тока, была подробно развита

в работе Н. Е, Жуковского и С. А. Чаплыгина, изложение которой мы и даём ниже.

Рассмотрим вращение шипа в подшипнике при следующих предположениях:

1) вся область между поверхностями шипа и подшипника заполнена смазкой,

2) оси шипа и подшипника параллельны,

3) движение частиц несжимаемой смазки с постоянным коэффициентом вязкости является плоско-параллельным и установившимся,

4) квадратичные члены инерции не учитываются.

При этих предположениях задача сводится к решению бигармонического уравнения для функции тока

Вводим биполярные координаты (рис. 57)

Отделяя действительную и мнимую части в (6.2), получим:

    (6.3)

Исключая из уравнений (6.3) переменное , получим:

Рис. 57.

Полагая в левой части

получим окружности с радиусами

и с центрами, расположенными на оси на расстояниях

    (6.6)

Обозначим через радиусы шипа и подшипника и через и соответствующие окружностям шипа и подшипника значения параметра (рис. 57). Кроме того, положим:

На основании (6.5) и (6.7) будем иметь:

Используя обозначение , получим:

На основании предпоследнего равенства (6.9) можно установить, что параметр а изменяется от 0 до .

Обозначая через эксцентриситет шипа и подшипника и через а отношение получим из (6.6), (6.7), (6.8) и (6.9):

Полагая

получим из (6.3):

    (6.11)

Тогда компоненты вектора скорости, параллельные касательным к координатным линиям через функцию тока будут представляться в виде

Граничные условия прилипания и задания значений функций тока на границах будут иметь вид

где Q — секундный расход, скорость точек окружности шипа при его вращении по часовой стрелке.

Так как оператор Лапласа от функции тока записывается в виде

то бигармоническое уравнение (6.1) сводится к уравнению

Проверкой можно убедиться, что частными решениями уравнения (6.13) будут следующие функции:

Сумму частных решений, умноженных на произвольные постоянные, можно представить в виде

или

где

Введённые функции M и N обращаются в нуль при поэтому для удовлетворения граничных условий (6.12) достаточно потребовать

выполнения следующих равенств:

Подставляя в (6.18) значения и N из (6.17), получим следующие уравнения:

Решая эти уравнения и используя обозначения (6.7), мы получим значения для постоянных В, С и расхода

Так как давление и оператор Лапласа от функции тока будут связаны соотношениями Коши—Римана

то, используя (6.15), получим:

Умножая первое равенство (6.21) на i и складывая со вторым, получим:

Правую часть полученного равенства (6.22) выразим через комплексное переменное z основной плоскости, т. е. воспользуемся формулой преобразования (6.2). На основании этой формулы будем иметь:

Используя эти равенства и проводя преобразования в правой части (6.22), получим:

На основании формулы (5.13) главы V результирующий вектор воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр представляется через вычеты функции . Внутри контура окружности шипа содержится лишь один полюс правой части (6.23) второго порядка в точке Вычисляя этот вычет с помощью умножения левой и правой частей на однократного дифференцирования правой части и устремления z к а, получим для вектора результирующего воздействия следующее выражение:

Таким образом, результирующее давление на шип будет направлено по оси у, т. е. перпендикулярно к линии наименьшего зазора, и будет представляться после замены В к а следующей формулой:

После проведения соответственных вычислений можно получить формулу для момента действия смазочного слоя относительно оси шипа

Равенства (6.24) и (6.25) позволяют определить результирующую силу и результирующий момент действия смазочного слоя на шип, если, помимо коэффициента вязкости, окружной скорости и радиусов шипа и подшипника, будет задано значение параметра а или значение эксцентриситета , определяемого через а по первой формуле (6.10). В реальных условиях, конечно, будет задаваться на эксцентриситет шипа и подшипника, а величина нагрузки на вал, вращающийся в подшипниках. Поэтому значение параметра о должно определяться по формуле (6.24) при заданном значении левой части.

Обозначая максимальное предельное значение параметра а через т. е.

и считая величину k — отношение средней величины зазора к радиусу шипа — весьма малой, можно после ряда преобразований получить следующие приближённые формулы для результирующей силы и результирующего момента:

где а — параметр Зоммерфельда, определяемый в общем случае по формуле (6.10), а при малых значениях k — по формуле

    (6.27)

Случай Н. П. Петрова, рассмотренный в § 1, мы получим, если положим параметр а равным нулю, тогда

Правая часть формулы (6.28) совпадает с правой частью формулы (1.8), если полагать в последней коэффициенты внешнего трения бесконечно большими.

1
Оглавление
email@scask.ru