§ 6. Теория Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина

В предшествующих параграфах была развита гидродинамическая теория смазки на основе тех уравнений, которые могут быть получены из общих уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости с помощью отбрасывания: 1) всех инерционных членов и 2) некоторых слагаемых, обусловленных вязкостью. Гидродинамическая теория трения в подшипниках с учётом всех слагаемых от вязкости и при отбрасывании всех инерционных членов, т. е. на основе бигармонического уравнения для функции тока, была подробно развита

в работе Н. Е, Жуковского и С. А. Чаплыгина, изложение которой мы и даём ниже.

Рассмотрим вращение шипа в подшипнике при следующих предположениях:

1) вся область между поверхностями шипа и подшипника заполнена смазкой,

2) оси шипа и подшипника параллельны,

3) движение частиц несжимаемой смазки с постоянным коэффициентом вязкости является плоско-параллельным и установившимся,

4) квадратичные члены инерции не учитываются.

При этих предположениях задача сводится к решению бигармонического уравнения для функции тока

Вводим биполярные координаты (рис. 57)

Отделяя действительную и мнимую части в (6.2), получим:

    (6.3)

Исключая из уравнений (6.3) переменное , получим:

Рис. 57.

Полагая в левой части

получим окружности с радиусами

и с центрами, расположенными на оси на расстояниях

    (6.6)

Обозначим через радиусы шипа и подшипника и через и соответствующие окружностям шипа и подшипника значения параметра (рис. 57). Кроме того, положим:

На основании (6.5) и (6.7) будем иметь:

Используя обозначение , получим:

На основании предпоследнего равенства (6.9) можно установить, что параметр а изменяется от 0 до .

Обозначая через эксцентриситет шипа и подшипника и через а отношение получим из (6.6), (6.7), (6.8) и (6.9):

Полагая

получим из (6.3):

    (6.11)

Тогда компоненты вектора скорости, параллельные касательным к координатным линиям через функцию тока будут представляться в виде

Граничные условия прилипания и задания значений функций тока на границах будут иметь вид

где Q — секундный расход, скорость точек окружности шипа при его вращении по часовой стрелке.

Так как оператор Лапласа от функции тока записывается в виде

то бигармоническое уравнение (6.1) сводится к уравнению

Проверкой можно убедиться, что частными решениями уравнения (6.13) будут следующие функции:

Сумму частных решений, умноженных на произвольные постоянные, можно представить в виде

или

где

Введённые функции M и N обращаются в нуль при поэтому для удовлетворения граничных условий (6.12) достаточно потребовать

выполнения следующих равенств:

Подставляя в (6.18) значения и N из (6.17), получим следующие уравнения:

Решая эти уравнения и используя обозначения (6.7), мы получим значения для постоянных В, С и расхода

Так как давление и оператор Лапласа от функции тока будут связаны соотношениями Коши—Римана

то, используя (6.15), получим:

Умножая первое равенство (6.21) на i и складывая со вторым, получим:

Правую часть полученного равенства (6.22) выразим через комплексное переменное z основной плоскости, т. е. воспользуемся формулой преобразования (6.2). На основании этой формулы будем иметь:

Используя эти равенства и проводя преобразования в правой части (6.22), получим:

На основании формулы (5.13) главы V результирующий вектор воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр представляется через вычеты функции . Внутри контура окружности шипа содержится лишь один полюс правой части (6.23) второго порядка в точке Вычисляя этот вычет с помощью умножения левой и правой частей на однократного дифференцирования правой части и устремления z к а, получим для вектора результирующего воздействия следующее выражение:

Таким образом, результирующее давление на шип будет направлено по оси у, т. е. перпендикулярно к линии наименьшего зазора, и будет представляться после замены В к а следующей формулой:

После проведения соответственных вычислений можно получить формулу для момента действия смазочного слоя относительно оси шипа

Равенства (6.24) и (6.25) позволяют определить результирующую силу и результирующий момент действия смазочного слоя на шип, если, помимо коэффициента вязкости, окружной скорости и радиусов шипа и подшипника, будет задано значение параметра а или значение эксцентриситета , определяемого через а по первой формуле (6.10). В реальных условиях, конечно, будет задаваться на эксцентриситет шипа и подшипника, а величина нагрузки на вал, вращающийся в подшипниках. Поэтому значение параметра о должно определяться по формуле (6.24) при заданном значении левой части.

Обозначая максимальное предельное значение параметра а через т. е.

и считая величину k — отношение средней величины зазора к радиусу шипа — весьма малой, можно после ряда преобразований получить следующие приближённые формулы для результирующей силы и результирующего момента:

где а — параметр Зоммерфельда, определяемый в общем случае по формуле (6.10), а при малых значениях k — по формуле

    (6.27)

Случай Н. П. Петрова, рассмотренный в § 1, мы получим, если положим параметр а равным нулю, тогда

Правая часть формулы (6.28) совпадает с правой частью формулы (1.8), если полагать в последней коэффициенты внешнего трения бесконечно большими.